Probabilidad condicionada y Teorema de Bayes: Superar una asignatura

**a) Calcula la probabilidad de que haya superado la asignatura y no haya asistido regularmente a clase. (Hasta 1 punto)** En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema: - $A$: El alumno asiste regularmente a clase. - $\bar{A}$: El alumno no asiste regularmente a clase. - $S$: El alumno supera la asignatura. - $\bar{S}$: El alumno no supera la asignatura. Calculamos la probabilidad de asistir regularmente a partir de los datos del enunciado: $$P(A) = \frac{\text{Alumnos que asisten}}{\text{Total de alumnos}} = \frac{210}{300} = 0.7.$$ Por la propiedad del suceso contrario, la probabilidad de no asistir es: $$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.7 = 0.3.$$ Además, el enunciado nos da las probabilidades condicionadas (los porcentajes de éxito según la asistencia): - $P(S|A) = 80\% = 0.8$ - $P(S|\bar{A}) = 50\% = 0.5$ 💡 **Tip:** En problemas de probabilidad con varias etapas (asistencia y luego resultado del examen), es fundamental identificar bien qué es una probabilidad simple y qué es una condicionada.

Para visualizar mejor la situación y las probabilidades de cada rama, construimos un diagrama de árbol:

Nos piden la probabilidad de la intersección entre superar la asignatura y no haber asistido, es decir, $P(S \cap \bar{A})$. Utilizamos la fórmula de la probabilidad condicionada: $$P(S \cap \bar{A}) = P(\bar{A}) \cdot P(S|\bar{A})$$ Sustituimos los valores obtenidos: $$P(S \cap \bar{A}) = 0.3 \cdot 0.5 = 0.15.$$ ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{P(S \cap \bar{A}) = 0.15}$$ 💡 **Tip:** La probabilidad de que ocurran dos sucesos a la vez (intersección) se calcula multiplicando las probabilidades a lo largo de la rama correspondiente del árbol.

**b) Sabiendo que ha superado la asignatura, ¿cuál es la probabilidad de que haya asistido regularmente a clase? (Hasta 2 puntos)** Para resolver este apartado, que es una probabilidad a posteriori, primero necesitamos conocer la probabilidad total de superar la asignatura, $P(S)$. Aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, sumando las dos formas posibles de superar la asignatura (asistiendo o no): $$P(S) = P(A \cap S) + P(\bar{A} \cap S)$$ $$P(S) = P(A) \cdot P(S|A) + P(\bar{A}) \cdot P(S|\bar{A})$$ Calculamos: $$P(S) = (0.7 \cdot 0.8) + (0.3 \cdot 0.5)$$ $$P(S) = 0.56 + 0.15 = 0.71.$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total consiste en sumar todas las ramas que terminan en el suceso deseado (en este caso, $S$).

Ahora que sabemos que el alumno ha superado la asignatura, queremos hallar la probabilidad de que haya asistido. Es decir, buscamos $P(A|S)$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(A|S) = \frac{P(A \cap S)}{P(S)} = \frac{P(A) \cdot P(S|A)}{P(S)}$$ Sustituimos los valores calculados previamente: $$P(A|S) = \frac{0.56}{0.71} \approx 0.7887.$$ Para dar una respuesta más precisa: $$P(A|S) = \frac{56}{71} \approx 0.7887.$$ ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{P(A|S) = \frac{56}{71} \approx 0.7887}$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes siempre se utiliza cuando nos dan el resultado final (ha superado) y nos preguntan por la causa o el estado anterior (asistencia).