Álgebra 2017 Castilla y Leon
Optimización de beneficios en talleres de reparación
Una empresa dispone de dos talleres para la reparación de motos y coches. El primero de los talleres dispone de 300 horas de trabajo como máximo y necesita 6 horas para reparar cada moto y 5 horas para cada coche. El segundo de los talleres dispone de 200 horas de trabajo como máximo y necesita 2 horas para reparar cada moto y 5 horas para cada coche. El beneficio neto que obtiene la empresa por cada moto reparada es de 1000 € mientras que el beneficio neto que obtiene por cada coche reparado es de 1500 €. Calcula, utilizando técnicas de programación lineal, cuántos coches y motos ha de reparar para obtener el máximo beneficio neto. ¿Cuál es ese beneficio neto máximo?
Paso 1
Definición de variables
En primer lugar, debemos identificar las incógnitas del problema. En este caso, nos preguntan por el número de motos y coches a reparar.
Definimos las variables:
- $x$: número de motos reparadas.
- $y$: número de coches reparados.
💡 **Tip:** Siempre conviene escribir explícitamente qué representa cada variable y sus unidades (en este caso, unidades de vehículos).
Paso 2
Función objetivo
La función objetivo es aquella que queremos maximizar o minimizar. Aquí queremos maximizar el beneficio neto total ($B$).
Sabemos que:
- Por cada moto ($x$) se ganan $1000\ €$.
- Por cada coche ($y$) se ganan $1500\ €$.
La función de beneficio es:
$$\boxed{f(x, y) = 1000x + 1500y}$$
💡 **Tip:** El objetivo es encontrar el punto $(x, y)$ de la región factible que haga este valor lo más grande posible.
Paso 3
Planteamiento de las restricciones
Traducimos las limitaciones de horas de los talleres a inecuaciones:
1. **Taller 1:** Dispone de un máximo de $300$ horas. Gasta $6$ h por moto y $5$ h por coche:
$$6x + 5y \le 300$$
2. **Taller 2:** Dispone de un máximo de $200$ horas. Gasta $2$ h por moto y $5$ h por coche:
$$2x + 5y \le 200$$
3. **Restricciones de no negatividad:** Como no se pueden reparar un número negativo de vehículos:
$$x \ge 0, \quad y \ge 0$$
El sistema de restricciones que define la región factible es:
$$\begin{cases} 6x + 5y \le 300 \\ 2x + 5y \le 200 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$$
Paso 4
Representación gráfica y cálculo de vértices
Representamos las rectas asociadas a las restricciones para hallar la región factible:
- **Recta $r_1$ ($6x + 5y = 300$):** Si $x=0 \Rightarrow y=60$. Si $y=0 \Rightarrow x=50$. Pasa por $(0, 60)$ y $(50, 0)$.
- **Recta $r_2$ ($2x + 5y = 200$):** Si $x=0 \Rightarrow y=40$. Si $y=0 \Rightarrow x=100$. Pasa por $(0, 40)$ y $(100, 0)$.
La región factible es el polígono delimitado por los ejes y estas rectas. Los vértices son:
- $A(0, 0)$: Origen.
- $B(0, 40)$: Intersección de $r_2$ con el eje $Y$.
- $D(50, 0)$: Intersección de $r_1$ con el eje $X$.
- $C$: Intersección de $r_1$ y $r_2$. Resolvemos el sistema:
$$\begin{cases} 6x + 5y = 300 \\ 2x + 5y = 200 \end{cases}$$
Restando las ecuaciones: $(6x - 2x) = (300 - 200) \Rightarrow 4x = 100 \Rightarrow x = 25$.
Sustituyendo $x=25$ en la segunda: $2(25) + 5y = 200 \Rightarrow 50 + 5y = 200 \Rightarrow 5y = 150 \Rightarrow y = 30$.
El vértice es $C(25, 30)$.
Paso 5
Evaluación de la función objetivo y solución
Evaluamos $f(x, y) = 1000x + 1500y$ en cada vértice para encontrar el máximo:
- $A(0, 0): f(0, 0) = 1000(0) + 1500(0) = 0\ €$
- $B(0, 40): f(0, 40) = 1000(0) + 1500(40) = 60000\ €$
- **$C(25, 30): f(25, 30) = 1000(25) + 1500(30) = 25000 + 45000 = 70000\ €$**
- $D(50, 0): f(50, 0) = 1000(50) + 1500(0) = 50000\ €$
El valor máximo se alcanza en el punto $C(25, 30)$.
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{\text{Se deben reparar 25 motos y 30 coches para un beneficio máximo de 70.000 €}}$$