Optimización: Producto de cuadrados máximo

Para resolver este problema de optimización, primero definimos los dos números reales positivos como $x$ e $y$. Según el enunciado, tenemos dos condiciones: 1. Los números deben ser positivos: $x > 0, y > 0$. 2. Su suma es 10: $$x + y = 10 \implies y = 10 - x$$ Queremos maximizar el producto de sus cuadrados. Definimos la función objetivo $P$: $$P = x^2 \cdot y^2$$ Sustituimos $y$ en la función para que dependa únicamente de una variable, $x$: $$f(x) = x^2 \cdot (10 - x)^2$$ Como $x$ e $y$ son positivos y su suma es 10, el dominio de nuestra función es $x \in (0, 10)$. 💡 **Tip:** En problemas de optimización, siempre es útil expresar la función a maximizar o minimizar en términos de una sola variable usando las restricciones del enunciado.

Para simplificar la derivación, podemos expresar la función como el cuadrado de un producto: $$f(x) = (x(10 - x))^2 = (10x - x^2)^2$$ Ahora derivamos aplicando la regla de la cadena ($[u^n]' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$): $$f'(x) = 2 \cdot (10x - x^2) \cdot (10x - x^2)'$$ $$f'(x) = 2(10x - x^2)(10 - 2x)$$ Podemos simplificar factorizando un $x$ del primer paréntesis: $$f'(x) = 2x(10 - x)(10 - 2x)$$ 💡 **Tip:** No siempre es necesario desarrollar todo el polinomio antes de derivar. A veces, mantenerlo factorizado facilita encontrar los puntos críticos (donde la derivada es cero). $$\boxed{f'(x) = 2x(10 - x)(10 - 2x)}$$

Igualamos la derivada a cero para encontrar los valores candidatos a máximo o mínimo: $$f'(x) = 0 \implies 2x(10 - x)(10 - 2x) = 0$$ Esto nos da tres posibles soluciones: 1. $x = 0$ 2. $10 - x = 0 \implies x = 10$ 3. $10 - 2x = 0 \implies 2x = 10 \implies x = 5$ Analizamos la validez de los puntos según las restricciones del problema ($x > 0$ e $y > 0$): - $x = 0$ y $x = 10$ no son válidos porque los números deben ser estrictamente positivos (si $x=10$, entonces $y=0$, lo cual no cumple la condición). - El único punto crítico válido en el intervalo $(0, 10)$ es **$x = 5$**.

Para confirmar que en $x = 5$ hay un máximo, estudiamos el signo de $f'(x)$ en el intervalo $(0, 10)$: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0, 5) & 5 & (5, 10) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array} $$ **Justificación del signo:** - Si $x \in (0, 5)$, tomamos $x=1$: $f'(1) = 2(1)(9)(8) > 0$ (Creciente). - Si $x \in (5, 10)$, tomamos $x=6$: $f'(6) = 2(6)(4)(-2) < 0$ (Decreciente). Como la función pasa de crecer a decrecer en $x = 5$, existe un **máximo relativo** en ese punto. Dado que es el único extremo en el dominio, es el máximo absoluto. 💡 **Tip:** Siempre es obligatorio justificar que el valor hallado es un máximo, ya sea mediante la tabla de monotonía (derivada primera) o usando la derivada segunda.

Una vez hallado el valor de $x$, calculamos el valor de $y$: $$y = 10 - x = 10 - 5 = 5$$ Ambos números son positivos ($5 > 0$), por lo que cumplen todas las condiciones. El producto de sus cuadrados en este caso es: $$P = 5^2 \cdot 5^2 = 25 \cdot 25 = 625$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Los dos números son } 5 \text{ y } 5}$$