Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) Calcula el intervalo de confianza para el diámetro medio poblacional de las perlas con un nivel de confianza del 90 %.** Primero, extraemos los datos proporcionados por el enunciado: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 0.8 \text{ mm}$. - Tamaño de la muestra: $n = 256$. - Media muestral: $\bar{x} = 9.92 \text{ mm}$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.90$. Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente al 90 %: 1. Si $1 - \alpha = 0.90$, entonces $\alpha = 0.10$. 2. Repartimos el nivel de significación en dos colas: $\alpha/2 = 0.05$. 3. Buscamos en la tabla de la normal estándar $N(0,1)$ el valor de $z_{\alpha/2}$ tal que: $$p(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.05 = 0.95.$$ Buscando en las tablas de la distribución Normal, el valor 0.95 se encuentra exactamente entre $z=1.64$ y $z=1.65$. Tomamos el valor medio: $$z_{\alpha/2} = 1.645.$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ define el área central bajo la campana de Gauss que contiene el porcentaje de probabilidad deseado.

La fórmula del error máximo admisible es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos nuestros valores: $$E = 1.645 \cdot \frac{0.8}{\sqrt{256}} = 1.645 \cdot \frac{0.8}{16} = 1.645 \cdot 0.05 = 0.08225.$$ El intervalo de confianza se define como $I.C. = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$I.C. = (9.92 - 0.08225, 9.92 + 0.08225)$$ $$I.C. = (9.83775, 10.00225)$$ 💡 **Tip:** El intervalo de confianza nos da un rango de valores entre los cuales se encuentra la media real de la población con la seguridad indicada. ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{I.C. = (9.83775, 10.00225)}$$

**b) Calcula el tamaño necesario de la muestra de perlas que permita alcanzar, con un nivel de confianza del 98%, un error máximo de 0.2 mm en la estimación del diámetro medio poblacional de una perla.** Para este apartado cambian las condiciones: - Error máximo: $E = 0.2 \text{ mm}$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.98$. - Desviación típica: $\sigma = 0.8 \text{ mm}$. Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ para el 98 %: 1. Si $1 - \alpha = 0.98$, entonces $\alpha = 0.02$. 2. $\alpha/2 = 0.01$. 3. Buscamos $z_{\alpha/2}$ tal que: $$p(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.01 = 0.99.$$ Mirando en las tablas de la Normal $N(0,1)$, el valor más cercano a 0.99 es: $$z_{\alpha/2} = 2.33.$$ 💡 **Tip:** A mayor nivel de confianza, mayor será el valor crítico $z_{\alpha/2}$ y, por tanto, mayor el tamaño de muestra necesario para mantener un error pequeño.

Partimos de la fórmula del error y despejamos el tamaño muestral $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los datos: $$n = \left( \frac{2.33 \cdot 0.8}{0.2} \right)^2$$ $$n = \left( \frac{1.864}{0.2} \right)^2 = (9.32)^2 = 86.8624.$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y debemos garantizar que el error sea **como máximo** de 0.2 mm, siempre debemos redondear hacia el siguiente entero superior. $$n = 87.$$ 💡 **Tip:** Si redondeáramos a la baja (86), el error sería ligeramente superior a 0.2 mm, por lo que no cumpliríamos la restricción. ✅ **Resultado (Tamaño muestral):** $$\boxed{n = 87 \text{ perlas}}$$