Probabilidad total: Satisfacción laboral

**4B- El 48% de los trabajadores de una empresa son hombres. Si en esa empresa, el 82% de los hombres y el 75% de las mujeres están satisfechos con su trabajo, ¿qué porcentaje de trabajadores está satisfecho con su trabajo en esa empresa?** En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema: - $H$: El trabajador es hombre. - $M$: El trabajador es mujer. - $S$: El trabajador está satisfecho con su trabajo. - $\bar{S}$: El trabajador no está satisfecho con su trabajo. A partir del enunciado, extraemos las probabilidades: - $P(H) = 0.48$ (el 48% son hombres). - Como solo hay hombres y mujeres, la probabilidad de ser mujer es el complementario: $P(M) = 1 - 0.48 = 0.52$ (el 52% son mujeres). - $P(S|H) = 0.82$ (probabilidad de estar satisfecho sabiendo que es hombre). - $P(S|M) = 0.75$ (probabilidad de estar satisfecho sabiendo que es mujer). 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de las ramas que parten de un mismo nodo siempre debe ser $1$ (o el 100%).

Para visualizar mejor la situación, utilizamos un diagrama de árbol. En él reflejamos los porcentajes de hombres y mujeres, y dentro de cada grupo, el porcentaje de satisfacción.

Para hallar el porcentaje total de trabajadores satisfechos, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Este teorema nos dice que la probabilidad de un suceso $S$ se puede calcular sumando las probabilidades de las distintas formas en las que puede ocurrir (ser hombre y estar satisfecho, o ser mujer y estar satisfecha): $$P(S) = P(H) \cdot P(S|H) + P(M) \cdot P(S|M)$$ Sustituimos los valores obtenidos anteriormente: $$P(S) = (0.48 \cdot 0.82) + (0.52 \cdot 0.75)$$ $$P(S) = 0.3936 + 0.39$$ $$P(S) = 0.7836$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para pasar de probabilidad a porcentaje basta con multiplicar el resultado decimal por $100$. Convertimos la probabilidad a porcentaje: $$\% \text{ Satisfechos} = 0.7836 \cdot 100 = 78.36\%$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{78.36\%}$$