Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**a) Clasifica el sistema según su número de soluciones para los distintos valores de a.** Primero, expresamos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -a \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -a & 2 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de la matriz $A$ para ver para qué valores de $a$ el rango es máximo: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -a \end{vmatrix}$$ Aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = [1 \cdot (-1) \cdot (-a) + (-1) \cdot 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot 0] - [0 \cdot (-1) \cdot 0 + 1 \cdot 1 \cdot 1 + (-a) \cdot 2 \cdot (-1)]$$ $$|A| = a - (1 + 2a) = a - 1 - 2a = -a - 1$$ Igualamos a cero para encontrar el valor crítico: $$-a - 1 = 0 \implies \mathbf{a = -1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, el sistema siempre será Compatible Determinado por el Teorema de Rouché-Frobenius.

Si $a \neq -1$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz de coeficientes es 3 ($rg(A) = 3$). Como la matriz ampliada $A^*$ tiene 3 filas, su rango también será 3, que coincide con el número de incógnitas ($n=3$). Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**: $$rg(A) = rg(A^*) = 3 = \text{nº de incógnitas}$$ $$\boxed{\text{Si } a \neq -1, \text{ el sistema es Compatible Determinado (Solución única)}}$$

Si $a = -1$, el determinante $|A| = 0$, por lo que $rg(A) < 3$. Analizamos el rango de $A$ buscando un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -1 - (-2) = 1 \neq 0 \implies rg(A) = 2$$ Ahora analizamos el rango de la matriz ampliada $A^*$. Tomamos el menor formado por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = [1(-1)2 + (-1)3(0) + 2(1)(-1)] - [0(-1)(-1) + 1(3)1 + 2(2)(-1)]$$ $$= (-2 + 0 - 2) - (0 + 3 - 4) = -4 - (-1) = -3 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en $A^*$, entonces $rg(A^*) = 3$. Comparando rangos: $$rg(A) = 2 \neq rg(A^*) = 3$$ $$\boxed{\text{Si } a = -1, \text{ el sistema es Incompatible (No tiene solución)}}$$

**b) Resuelve el sistema para $a = 2$.** Como $2 \neq -1$, estamos ante un **Sistema Compatible Determinado**. El sistema a resolver es: $$\begin{cases} x - y = -1 \quad (1) \\ 2x - y + z = 3 \quad (2) \\ y - 2z = 2 \quad (3) \end{cases}$$ Podemos usar el método de sustitución. De la ecuación (1) despejamos $x$: $$x = y - 1$$ De la ecuación (3) despejamos $y$: $$y = 2 + 2z$$ Sustituimos $y$ en la expresión de $x$: $$x = (2 + 2z) - 1 \implies x = 1 + 2z$$ Ahora sustituimos $x$ e $y$ en la ecuación (2): $$2(1 + 2z) - (2 + 2z) + z = 3$$ $$2 + 4z - 2 - 2z + z = 3$$ $$3z = 3 \implies \mathbf{z = 1}$$ 💡 **Tip:** Siempre comprueba los resultados sustituyendo los valores obtenidos en las tres ecuaciones originales para asegurar que la solución es correcta.

Una vez obtenido $z = 1$, calculamos el resto de variables utilizando las expresiones despejadas anteriormente: Para $y$: $$y = 2 + 2(1) \implies \mathbf{y = 4}$$ Para $x$: $$x = 4 - 1 \implies \mathbf{x = 3}$$ La solución del sistema es: $$\boxed{x = 3, y = 4, z = 1}$$