Estudio de beneficios de una empresa

**a) Estudia razonadamente la continuidad de la función $f(x)$.** Primero, analizamos la continuidad de cada una de las ramas de la función por separado en sus respectivos dominios de definición: 1. En el intervalo $(0, 1)$, la función es $f(x) = 20x^2 - 20x + 32$. Se trata de una función polinómica de segundo grado, por lo que es **continua** en todo su intervalo. 2. En el intervalo $(1, +\infty)$, la función es $f(x) = \frac{90x - 45}{x+8} + 27$. Esta función racional tiene un punto de discontinuidad cuando el denominador se anula: $x + 8 = 0 \implies x = -8$. Como $x = -8$ no pertenece al intervalo $(1, +\infty)$, la función es **continua** en este tramo. 💡 **Tip:** Recuerda que las funciones polinómicas son siempre continuas y las racionales lo son en todo su dominio excepto donde se anula el denominador.

Para que la función sea continua en el punto de salto $x=1$, deben cumplirse tres condiciones: 1. Existe $f(1)$: $$f(1) = 20(1)^2 - 20(1) + 32 = 32$$ 2. Existe el límite cuando $x \to 1$ (coincidencia de límites laterales): - Límite por la izquierda ($x \to 1^-$): $$\lim_{x \to 1^-} (20x^2 - 20x + 32) = 20(1)^2 - 20(1) + 32 = 32$$ - Límite por la derecha ($x \to 1^+$): $$\lim_{x \to 1^+} \left( \frac{90x - 45}{x+8} + 27 \right) = \frac{90(1) - 45}{1+8} + 27 = \frac{45}{9} + 27 = 5 + 27 = 32$$ 3. El valor de la función coincide con el límite: $$f(1) = \lim_{x \to 1} f(x) = 32$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función } f(x) \text{ es continua en todo su dominio } (0, +\infty)}$$

**b) Halla los intervalos donde se produce un aumento del beneficio y una disminución del beneficio. ¿En qué momento el beneficio es mínimo?** Para estudiar el aumento y la disminución (monotonía), calculamos la derivada $f'(x)$ en cada rama: 1. Para $0 \lt x \lt 1$: $$f'(x) = 40x - 20$$ 2. Para $x \gt 1$, usamos la regla del cociente para la fracción: $$f'(x) = \frac{90(x+8) - (90x-45)(1)}{(x+8)^2} + 0 = \frac{90x + 720 - 90x + 45}{(x+8)^2} = \frac{765}{(x+8)^2}$$ La función derivada queda: $$f'(x) = \begin{cases} 40x - 20 & 0 \lt x \lt 1 \\ \frac{765}{(x+8)^2} & x \gt 1 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** La derivada nos indica la pendiente de la curva. Si $f'(x) > 0$ la función crece y si $f'(x) < 0$ la función decrece.

Buscamos los puntos críticos igualando a cero la derivada: - En la primera rama: $40x - 20 = 0 \implies 40x = 20 \implies x = 0.5$. - En la segunda rama: $\frac{765}{(x+8)^2} = 0$. Esta ecuación no tiene solución, ya que el numerador es una constante positiva. Además, como $(x+8)^2$ siempre es positivo para $x > 1$, esta rama siempre es creciente. Estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos determinados por el punto crítico ($x=0.5$) y el punto de unión ($x=1$): $$\begin{array}{c|ccccc} x & (0, 0.5) & 0.5 & (0.5, 1) & 1 & (1, +\infty)\\\hline f'(x) & - & 0 & + & + & + \end{array}$$ - En $(0, 0.5)$: $f'(0.25) = 40(0.25) - 20 = 10 - 20 = -10 \lt 0$ (Disminución). - En $(0.5, 1)$: $f'(0.75) = 40(0.75) - 20 = 30 - 20 = 10 \gt 0$ (Aumento). - En $(1, +\infty)$: $f'(x) \gt 0$ siempre (Aumento). ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Disminución: } (0, 0.5) \quad \text{Aumento: } (0.5, +\infty)}$$

A partir del estudio anterior, observamos que en $x = 0.5$ la función pasa de ser decreciente a creciente, por lo que hay un **mínimo relativo**. Como es el único punto donde la derivada cambia de signo y la función es continua, es el mínimo absoluto en el dominio dado. El momento es a los **0.5 meses** (es decir, a las dos semanas aproximadamente). Calculamos el beneficio mínimo: $$f(0.5) = 20(0.5)^2 - 20(0.5) + 32 = 20(0.25) - 10 + 32 = 5 - 10 + 32 = 27$$ ✅ **Resultado (Mínimo):** $$\boxed{\text{El beneficio es mínimo a los 0.5 meses con un valor de 27.000 euros}}$$

**c) Determina el beneficio de la empresa a muy largo plazo.** El beneficio a "muy largo plazo" se calcula mediante el límite de la función cuando $x$ tiende a infinito. Para ello usamos la segunda rama de la función: $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{90x - 45}{x+8} + 27 \right)$$ Calculamos primero el límite de la fracción, que es una indeterminación del tipo $\frac{\infty}{\infty}$: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{90x - 45}{x+8} = \frac{90}{1} = 90$$ (Al ser grados iguales, el límite es el cociente de los coeficientes principales). Sumamos la constante: $$L = 90 + 27 = 117$$ Como el beneficio está expresado en miles de euros, el valor es $117 \times 1000 = 117.000$ euros. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{A largo plazo el beneficio será de 117.000 euros}}$$