Probabilidad en listas electorales

**a) Calcula la probabilidad de que tenga menos de 40 años.** Primero, definimos los sucesos que intervienen en el problema: - $H$: La persona elegida es hombre. - $M$: La persona elegida es mujer. - $A$: La persona tiene 40 o más años. - $\bar{A}$: La persona tiene menos de 40 años. Extraemos los datos del enunciado: - El número de hombres y mujeres es igual: $P(H) = 0,5$ y $P(M) = 0,5$. - El 60% de los hombres tienen 40 o más años: $P(A|H) = 0,6$. Esto implica que $P(\bar{A}|H) = 1 - 0,6 = 0,4$. - El 30% de las mujeres tienen menos de 40 años: $P(\bar{A}|M) = 0,3$. Esto implica que $P(A|M) = 1 - 0,3 = 0,7$. Representamos la situación en un **árbol de probabilidad**:

Para calcular la probabilidad de que una persona tenga menos de 40 años, $P(\bar{A})$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, sumando las probabilidades de ser hombre menor de 40 años y ser mujer menor de 40 años: $$P(\bar{A}) = P(H) \cdot P(\bar{A}|H) + P(M) \cdot P(\bar{A}|M)$$ Sustituimos los valores obtenidos en el árbol: $$P(\bar{A}) = (0,5 \cdot 0,4) + (0,5 \cdot 0,3)$$ $$P(\bar{A}) = 0,2 + 0,15 = 0,35$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso puede ocurrir a través de varios caminos excluyentes (en este caso, por ser hombre o por ser mujer). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{A}) = 0,35}$$

**b) Sabiendo que tiene 40 o más años de edad, calcula la probabilidad de que sea mujer.** Se trata de una probabilidad a posteriori, ya que conocemos el efecto (tiene 40 o más años) y buscamos la causa (ser mujer). Aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(M|A) = \frac{P(M \cap A)}{P(A)}$$ Primero calculamos el denominador $P(A)$ (probabilidad de tener 40 o más años). Podemos hacerlo como el suceso contrario de tener menos de 40 años: $$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - 0,35 = 0,65$$ Ahora calculamos el numerador $P(M \cap A)$: $$P(M \cap A) = P(M) \cdot P(A|M) = 0,5 \cdot 0,7 = 0,35$$ Finalmente, calculamos la probabilidad condicionada: $$P(M|A) = \frac{0,35}{0,65}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre $0,05$: $$P(M|A) = \frac{35}{65} = \frac{7}{13} \approx 0,5385$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A|B)$ no es lo mismo que $P(B|A)$. El Teorema de Bayes permite invertir el orden de la condición. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M|A) = \frac{7}{13} \approx 0,5385}$$