Intervalo de confianza para la media poblacional

**4A- El diámetro de las piezas fabricadas por cierta máquina sigue una distribución normal con desviación típica poblacional $\sigma = 0.042 \text{ cm}$. Se elige una muestra representativa de 200 piezas fabricadas por la máquina, resultando un diámetro medio muestral de 0.824 cm. Halla el intervalo de confianza al 95% para el diámetro medio poblacional de las piezas fabricadas por esa máquina.** En primer lugar, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado para la variable aleatoria $X$, que representa el diámetro de las piezas (en cm): - La desviación típica poblacional: $\sigma = 0.042$. - El tamaño de la muestra elegida: $n = 200$. - La media obtenida en dicha muestra: $\bar{x} = 0.824$. - El nivel de confianza deseado: $1 - \alpha = 0.95$. 💡 **Tip:** Identificar correctamente si la desviación típica es poblacional ($\sigma$) o muestral ($s$) es clave. Aquí nos dicen explícitamente que es poblacional.

Para un nivel de confianza del $95\%$, debemos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$ en la tabla de la distribución normal estándar $N(0,1)$. Si el nivel de confianza es $1 - \alpha = 0.95$, entonces: $$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.025$$ Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.025 = 0.975$$ Consultando la tabla de la normal estándar $N(0,1)$, observamos que el valor que corresponde a una probabilidad de $0.975$ es: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.96}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para los niveles de confianza más habituales ($90\%, 95\%, 99\%$), los valores críticos suelen ser $1.645, 1.96$ y $2.575$ respectivamente.

El error máximo admisible $E$ para el intervalo de confianza de la media viene dado por la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores conocidos: $$E = 1.96 \cdot \frac{0.042}{\sqrt{200}}$$ $$E = 1.96 \cdot \frac{0.042}{14.1421}$$ $$E = 1.96 \cdot 0.00297 = 0.0058212...$$ Redondeando a cuatro decimales, obtenemos: $$E \approx 0.0058$$

La estructura del intervalo de confianza para la media poblacional $\mu$ es: $$I.C. = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$$ Calculamos los límites del intervalo utilizando la media muestral $\bar{x} = 0.824$: - Límite inferior: $0.824 - 0.0058 = 0.8182$ - Límite superior: $0.824 + 0.0058 = 0.8298$ Por tanto, el intervalo de confianza al $95\%$ para el diámetro medio poblacional es: $$\boxed{I.C. = (0.8182, 0.8298)}$$ Esto significa que tenemos una confianza del $95\%$ de que el verdadero diámetro medio de todas las piezas fabricadas por la máquina se encuentra entre $0.8182 \text{ cm}$ y $0.8298 \text{ cm}$.