Optimización de costes en la adquisición de alimentos (Programación Lineal)

**Queremos conseguir al menos 210 kg de hidratos de carbono y al menos 100 kg de proteínas adquiriendo dos alimentos A y B que sólo contienen estos dos nutrientes. Cada kg de A contiene 0.6 kg de hidratos de carbono y 0.4 kg de proteínas. Cada kg de B contiene 0.9 kg de hidratos de carbono y 0.1 kg de proteínas. Si los costes de A y B son 12 y 6 euros por kg, respectivamente, utiliza técnicas de programación lineal para calcular cuántos kg de cada alimento hay que adquirir para que el coste sea mínimo. ¿A cuánto asciende ese coste mínimo?** En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema: - $x$: cantidad de kilogramos del alimento **A** a adquirir. - $y$: cantidad de kilogramos del alimento **B** a adquirir. Organizamos los datos en una tabla para facilitar el planteamiento de las restricciones: $$\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline & \text{Alimento A (kg)} & \text{Alimento B (kg)} & \text{Mínimo requerido} \\ \hline \text{Hidratos (kg)} & 0.6 & 0.9 & 210 \\ \hline \text{Proteínas (kg)} & 0.4 & 0.1 & 100 \\ \hline \text{Coste (€/kg)} & 12 & 6 & \text{Minimizar} \\ \hline \end{array}$$ 💡 **Tip:** Identificar claramente qué representa cada variable y sus unidades es fundamental para no cometer errores en los pasos siguientes.

A partir de la tabla anterior, planteamos el modelo matemático. **Funación objetivo:** Queremos minimizar el coste total $C(x, y)$: $$C(x, y) = 12x + 6y$$ **Restricciones:** 1. **Hidratos de carbono:** $0.6x + 0.9y \ge 210$ 2. **Proteínas:** $0.4x + 0.1y \ge 100$ 3. **No negatividad:** Como no podemos comprar cantidades negativas, $x \ge 0$ e $y \ge 0$. Podemos simplificar las inecuaciones multiplicando por 10 para trabajar con números enteros: - $6x + 9y \ge 2100 \implies 2x + 3y \ge 700$ - $4x + y \ge 1000$ 💡 **Tip:** Simplificar las inecuaciones dividiendo por el máximo común divisor ayuda a trabajar con números más manejables al dibujar las rectas.

Para hallar la región factible, dibujamos las rectas asociadas a las restricciones: **Recta $r_1$ ($2x + 3y = 700$):** - Si $x = 0 \implies 3y = 700 \implies y \approx 233.33 \implies (0, 233.33)$ - Si $y = 0 \implies 2x = 700 \implies x = 350 \implies (350, 0)$ **Recta $r_2$ ($4x + y = 1000$):** - Si $x = 0 \implies y = 1000 \implies (0, 1000)$ - Si $y = 0 \implies 4x = 1000 \implies x = 250 \implies (250, 0)$ Como las inecuaciones son del tipo $\ge$, la región factible es la zona no acotada situada "por encima" de ambas rectas en el primer cuadrante.

Los vértices que delimitan la región factible son: - **Vértice A:** Intersección de $r_2$ con el eje $Y$: $(0, 1000)$. - **Vértice C:** Intersección de $r_1$ con el eje $X$: $(350, 0)$. - **Vértice B:** Intersección entre $r_1$ y $r_2$. Resolvemos el sistema: $$\begin{cases} 2x + 3y = 700 \\ 4x + y = 1000 \end{cases}$$ Multiplicamos la segunda ecuación por $-3$ para usar el método de reducción: $$\begin{cases} 2x + 3y = 700 \\ -12x - 3y = -3000 \end{cases}$$ Sumando ambas ecuaciones: $$-10x = -2300 \implies x = 230$$ Sustituimos $x = 230$ en la segunda ecuación original: $$4(230) + y = 1000 \implies 920 + y = 1000 \implies y = 80$$ Por tanto, el vértice de intersección es **$B(230, 80)$**. 💡 **Tip:** En problemas de minimización con restricciones $\ge$, el mínimo suele encontrarse en los vértices de la "frontera inferior" de la región.

Evaluamos el coste $C(x, y) = 12x + 6y$ en cada vértice: 1. **Vértice A(0, 1000):** $$C(0, 1000) = 12(0) + 6(1000) = 6000 \text{ €}$$ 2. **Vértice B(230, 80):** $$C(230, 80) = 12(230) + 6(80) = 2760 + 480 = 3240 \text{ €}$$ 3. **Vértice C(350, 0):** $$C(350, 0) = 12(350) + 6(0) = 4200 \text{ €}$$ Comparando los resultados, el coste mínimo se obtiene en el punto $B$. ✅ **Resultado:** Para que el coste sea mínimo, hay que adquirir **230 kg del alimento A** y **80 kg del alimento B**. El coste mínimo asciende a **3240 euros**. $$\boxed{\text{A: 230 kg, B: 80 kg. Coste: 3240 €}}$$