Estudio de parámetros y curvatura en una función polinómica

**a) Calcula el valor de $a$ que hace que el valor de la derivada de la función $y = ax^3 + 6x^2 - ax - 18$, en los puntos de abscisa $x = -2$ y $x = 1$, sean iguales.** Primero, calculamos la derivada general de la función $y = ax^3 + 6x^2 - ax - 18$ utilizando las reglas de derivación de potencias: $$y' = 3ax^2 + 12x - a$$ Ahora, evaluamos la derivada en los dos puntos indicados, $x = -2$ y $x = 1$: - Para $x = -2$: $$y'(-2) = 3a(-2)^2 + 12(-2) - a = 3a(4) - 24 - a = 12a - 24 - a = 11a - 24$$ - Para $x = 1$: $$y'(1) = 3a(1)^2 + 12(1) - a = 3a + 12 - a = 2a + 12$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para derivar $x^n$ bajamos el exponente multiplicando y restamos uno al grado: $(x^n)' = nx^{n-1}$.

El enunciado indica que las derivadas en esos puntos deben ser iguales, por lo tanto planteamos la ecuación: $$y'(-2) = y'(1) \implies 11a - 24 = 2a + 12$$ Resolvemos la ecuación lineal para hallar $a$: $$11a - 2a = 12 + 24$$ $$9a = 36$$ $$a = \frac{36}{9} = 4$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{a = 4}$$

**b) Sabiendo que la curva $y = ax^3 + 6x^2 - ax - 18$ pasa por el punto $(2,12)$, calcula el valor de $a$ y las coordenadas del punto de la curva donde se anula la segunda derivada.** Si la curva pasa por el punto $(2,12)$, significa que cuando $x = 2$, la función toma el valor $y = 12$. Sustituimos estos valores en la ecuación original: $$12 = a(2)^3 + 6(2)^2 - a(2) - 18$$ $$12 = 8a + 24 - 2a - 18$$ Simplificamos la expresión: $$12 = 6a + 6$$ $$12 - 6 = 6a$$ $$6 = 6a \implies a = 1$$ 💡 **Tip:** Siempre que un punto $(x_0, y_0)$ pertenece a una curva $f(x)$, se debe cumplir que $f(x_0) = y_0$. ✅ **Resultado parcial (valor de a):** $$\boxed{a = 1}$$

Con $a=1$, la función es $y = x^3 + 6x^2 - x - 18$. Para hallar dónde se anula la segunda derivada, primero calculamos la primera y luego la segunda: $$y' = 3x^2 + 12x - 1$$ $$y'' = 6x + 12$$ Igualamos la segunda derivada a cero: $$6x + 12 = 0 \implies 6x = -12 \implies x = -2$$ Para obtener las **coordenadas completas** del punto, calculamos su ordenada $y$ sustituyendo $x = -2$ en la función (con $a=1$): $$y(-2) = (-2)^3 + 6(-2)^2 - (-2) - 18$$ $$y(-2) = -8 + 6(4) + 2 - 18$$ $$y(-2) = -8 + 24 + 2 - 18 = 0$$ Podemos verificar el cambio de signo de la segunda derivada: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-2) & -2 & (-2,+\infty)\\\hline y'' = 6x+12 & - & 0 & + \end{array}$$ ✅ **Resultado del apartado b):** El valor de $a$ es $1$ y el punto donde se anula la segunda derivada es: $$\boxed{P(-2, 0)}$$