Inferencia estadística: intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) Determina un intervalo de confianza del 99% para el gasto medio por cliente.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la variable $X =$ "gasto por cliente en euros": - Desviación típica poblacional: $\sigma = 10$. - Tamaño de la muestra: $n = 225$. - Suma total de los gastos: $\sum x_i = 2587.50$. Calculamos la media muestral $\bar{x}$ dividiendo la suma total entre el número de clientes: $$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{2587.50}{225} = 11.5 \text{ euros}$$ 💡 **Tip:** La media muestral es el mejor estimador puntual de la media poblacional $\mu$ y es el centro de nuestro intervalo de confianza.

Para un nivel de confianza del $99\%$, tenemos que $1 - \alpha = 0.99$, de donde: $$\alpha = 1 - 0.99 = 0.01 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.005$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.005 = 0.995$. Consultando la tabla de la distribución normal $N(0, 1)$: - $P(Z \le 2.57) = 0.9949$ - $P(Z \le 2.58) = 0.9951$ Tomamos el valor intermedio (o el más cercano): $$z_{\alpha/2} = 2.575$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes son $1.645$ ($90\%$), $1.96$ ($95\%$) y $2.575$ ($99\%$). Memorizarlos te ahorrará tiempo en el examen.

La fórmula del intervalo de confianza para la media es: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.575 \cdot \frac{10}{\sqrt{225}} = 2.575 \cdot \frac{10}{15} = 2.575 \cdot 0.6667 \approx 1.717$$ Sustituimos en el intervalo: $$I.C. = (11.5 - 1.717, 11.5 + 1.717) = (9.783, 13.217)$$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{I.C. = (9.78, 13.22) \text{ euros}}$$

**b) Calcula el tamaño mínimo de la muestra de clientes que permita alcanzar, con una confianza del 95%, un error máximo de 1.20 euros en la estimación del gasto medio por cliente.** Datos para este apartado: - Nivel de confianza: $95\% \implies 1 - \alpha = 0.95 \implies z_{\alpha/2} = 1.96$ (ya que $P(Z \le 1.96) = 0.975$). - Error máximo: $E = 1.20$. - Desviación típica: $\sigma = 10$. La fórmula del error es $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Para hallar el tamaño $n$, despejamos: $$\sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$

Sustituimos los valores conocidos en la fórmula despejada: $$n = \left( \frac{1.96 \cdot 10}{1.20} \right)^2 = \left( \frac{19.6}{1.2} \right)^2 \approx (16.333)^2 \approx 266.78$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **como máximo** $1.20$, debemos redondear siempre al entero superior para garantizar que el error sea menor o igual al pedido. $$n = 267$$ 💡 **Tip:** En problemas de tamaño muestral, aunque el decimal sea pequeño (ej. $.01$), siempre se redondea hacia arriba para asegurar la precisión requerida. ✅ **Resultado (Tamaño mínimo):** $$\boxed{n = 267 \text{ clientes}}$$