Probabilidad de selección de alumnos (juegos de cartas)

**¿Qué probabilidad hay de que ninguno de los elegidos estén jugando a las cartas?** Primero, analizamos la composición de la clase para identificar cuántos alumnos juegan a las cartas y cuántos no. * Total de alumnos en la clase: $15$ * Alumnos que juegan al mus: $2$ * Alumnos que juegan al tute: $5$ * Total de alumnos que **juegan a las cartas** ($J$): $2 + 5 = 7$ * Total de alumnos que **no juegan a las cartas** ($\bar{J}$): $15 - 7 = 8$ Definimos los sucesos para la elección de los dos alumnos: - $J_i$: El alumno elegido en la extracción $i$ juega a las cartas ($i=1, 2$). - $\bar{J}_i$: El alumno elegido en la extracción $i$ no juega a las cartas ($i=1, 2$). 💡 **Tip:** Es fundamental identificar correctamente el espacio muestral. Como elegimos a dos alumnos, se trata de un experimento **sin reemplazamiento**, ya que no podemos elegir a la misma persona dos veces.

Para visualizar las probabilidades de cada extracción, utilizamos un diagrama de árbol. Debemos tener en cuenta que, al extraer al primer alumno, el número total de alumnos y el número de alumnos de cada categoría cambian para la segunda extracción. 💡 **Tip:** En la segunda rama, si el primero no jugaba, quedan 14 alumnos en total y solo 7 que no juegan a las cartas.

Queremos hallar la probabilidad de que ninguno de los dos juegue a las cartas, es decir, el suceso $(\bar{J}_1 \cap \bar{J}_2)$. Aplicamos la regla del producto para sucesos dependientes: $$P(\bar{J}_1 \cap \bar{J}_2) = P(\bar{J}_1) \cdot P(\bar{J}_2 | \bar{J}_1)$$ Sustituimos los valores obtenidos del análisis previo: * $P(\bar{J}_1) = \dfrac{8}{15}$ * $P(\bar{J}_2 | \bar{J}_1) = \dfrac{7}{14} = \dfrac{1}{2}$ Realizamos la operación: $$P(\text{Ninguno juegue}) = \frac{8}{15} \cdot \frac{7}{14} = \frac{8 \cdot 7}{15 \cdot 14} = \frac{56}{210}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre 14: $$\frac{56}{210} = \frac{4}{15} \approx 0.2667$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P = \frac{4}{15} \approx 0.2667}$$ 💡 **Tip:** Siempre que sea posible, simplifica las fracciones antes de multiplicar para facilitar los cálculos: $\frac{8}{15} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{15}$.