Ecuaciones matriciales y cálculo de matrices inversas

**a) Despeja $X$ en la siguiente expresión matricial: $M \cdot X \cdot N = P$. (0.5 ptos)** Para despejar la matriz $X$, debemos eliminar las matrices $M$ y $N$ que la acompañan. A diferencia de las ecuaciones con números reales, en el álgebra de matrices el orden de los factores es fundamental porque **el producto de matrices no es conmutativo**. 1. Para eliminar $M$ (que multiplica por la izquierda), multiplicamos por su inversa $M^{-1}$ a la izquierda en ambos miembros: $$M^{-1} \cdot (M \cdot X \cdot N) = M^{-1} \cdot P$$ $$(M^{-1} \cdot M) \cdot X \cdot N = M^{-1} \cdot P$$ $$I \cdot X \cdot N = M^{-1} \cdot P \implies X \cdot N = M^{-1} \cdot P$$ 2. Para eliminar $N$ (que multiplica por la derecha), multiplicamos por su inversa $N^{-1}$ a la derecha en ambos miembros: $$(X \cdot N) \cdot N^{-1} = (M^{-1} \cdot P) \cdot N^{-1}$$ $$X \cdot (N \cdot N^{-1}) = M^{-1} \cdot P \cdot N^{-1}$$ $$X \cdot I = M^{-1} \cdot P \cdot N^{-1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I$ y que $I \cdot A = A \cdot I = A$. Siempre debes multiplicar por el mismo lado en ambos miembros de la igualdad. ✅ **Resultado (Despeje):** $$\boxed{X = M^{-1} \cdot P \cdot N^{-1}}$$

**b) Despeja y calcula $X$ en la siguiente ecuación matricial: $\begin{pmatrix} -3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot X \cdot \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 5 & 4 \end{pmatrix} = I$ (1 pto).** Llamamos a las matrices del enunciado: $$A = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}$$ La ecuación queda como $A \cdot X \cdot B = I$. Siguiendo el procedimiento del apartado anterior: $$X = A^{-1} \cdot I \cdot B^{-1} = A^{-1} \cdot B^{-1}$$ Para resolverlo, primero calcularemos $A^{-1}$, luego $B^{-1}$ y finalmente realizaremos el producto. 💡 **Tip:** Multiplicar cualquier matriz por la identidad $I$ no altera la matriz ($M \cdot I = M$), por lo que podemos simplificar el despeje.

Calculamos la inversa de $A = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$. 1. Calculamos el determinante: $$|A| = \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = (-3 \cdot 0) - (1 \cdot (-1)) = 0 + 1 = 1$$ Como $|A| \neq 0$, la matriz es invertible. 2. Usamos la fórmula para matrices $2 \times 2$: si $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, entonces $M^{-1} = \frac{1}{|M|} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$. $$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -(-1) & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado intermedio:** $$A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$$

Calculamos la inversa de $B = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}$. 1. Calculamos el determinante: $$|B| = \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 5 & 4 \end{vmatrix} = (-1 \cdot 4) - (-1 \cdot 5) = -4 + 5 = 1$$ 2. Aplicamos la fórmula de la inversa: $$B^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 4 & -(-1) \\ -5 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -5 & -1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado intermedio:** $$B^{-1} = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -5 & -1 \end{pmatrix}$$

Finalmente, calculamos $X = A^{-1} \cdot B^{-1}$: $$X = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -5 & -1 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Fila 1: $(0 \cdot 4 + (-1) \cdot (-5)) = 5$; $(0 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1)) = 1$ - Fila 2: $(1 \cdot 4 + (-3) \cdot (-5)) = 4 + 15 = 19$; $(1 \cdot 1 + (-3) \cdot (-1)) = 1 + 3 = 4$ $$X = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 19 & 4 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado Final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 19 & 4 \end{pmatrix}}$$