Álgebra 2017 Castilla la Mancha
Problema de pesas antiguas: Sistemas de ecuaciones
2. Un coleccionista tiene pesas antiguas de tres pesos distintos. Tiene 8 del mayor peso; 12 de un peso intermedio y 20 del menor peso. Todas las pesas juntas nos dan un peso total de 3800 g. Una pesa intermedia pesa la mitad que una de las mayores. Cuatro pesas de las menores equivalen a una mayor.
a) Plantea un sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuál es el valor en gramos de cada uno de los tres tipos de pesas. (1.5 ptos)
b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 ptos)
Paso 1
Definición de variables y planteamiento del sistema
**a) Plantea un sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuál es el valor en gramos de cada uno de los tres tipos de pesas. (1.5 ptos)**
En primer lugar, definimos las variables que representan lo que queremos calcular:
- $x$: peso en gramos de una pesa de tipo mayor.
- $y$: peso en gramos de una pesa de tipo intermedio.
- $z$: peso en gramos de una pesa de tipo menor.
Ahora, traducimos las condiciones del enunciado a lenguaje algebraico:
1. El peso total de las 8 pesas mayores, 12 intermedias y 20 menores es de 3800 g:
$$8x + 12y + 20z = 3800$$
2. Una pesa intermedia ($y$) pesa la mitad que una de las mayores ($x$):
$$y = \frac{x}{2} \implies x = 2y \implies x - 2y = 0$$
3. Cuatro pesas de las menores ($4z$) equivalen a una mayor ($x$):
$$4z = x \implies x - 4z = 0$$
💡 **Tip:** Organizar el sistema en su forma general ($ax + by + cz = d$) facilita su resolución posterior mediante métodos como Gauss o sustitución.
El sistema de ecuaciones planteado es:
$$\boxed{\begin{cases} 8x + 12y + 20z = 3800 \\ x - 2y = 0 \\ x - 4z = 0 \end{cases}}$$
Paso 2
Resolución del sistema de ecuaciones
**b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 ptos)**
Para resolver el sistema, utilizaremos el **método de sustitución**, ya que en la segunda y tercera ecuación es muy sencillo despejar $y$ y $z$ en función de $x$.
De la segunda ecuación:
$$x = 2y \implies y = \frac{x}{2}$$
De la tercera ecuación:
$$x = 4z \implies z = \frac{x}{4}$$
Ahora, sustituimos estas expresiones en la primera ecuación:
$$8x + 12\left(\frac{x}{2}\right) + 20\left(\frac{x}{4}\right) = 3800$$
Simplificamos los términos:
$$8x + 6x + 5x = 3800$$
$$19x = 3800$$
$$x = \frac{3800}{19} = 200$$
Ya tenemos el valor de $x$. Ahora calculamos $y$ y $z$ sustituyendo este valor en las expresiones anteriores:
$$y = \frac{200}{2} = 100$$
$$z = \frac{200}{4} = 50$$
💡 **Tip:** Siempre conviene comprobar que los resultados obtenidos cumplen las tres ecuaciones originales. En este caso:
- $8(200) + 12(100) + 20(50) = 1600 + 1200 + 1000 = 3800$ (Correcto)
- $100 = 200/2$ (Correcto)
- $4(50) = 200$ (Correcto)
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{Pesa mayor: } 200\text{ g, Pesa intermedia: } 100\text{ g, Pesa menor: } 50\text{ g}}$$