Continuidad y estudio de extremos de una función a trozos

**a) ¿Para qué valor de $t$ la función $f(x)$ es continua en $x=0$? (0.5 ptos)** Para que la función sea continua en $x = 0$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función en dicho punto. Es decir, debe cumplirse que: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$$ 1. Calculamos el límite por la izquierda (usando la primera rama, $x \le 0$): $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x + 2t) = 0 + 2t = 2t$$ 2. Calculamos el límite por la derecha (usando la segunda rama, $x > 0$): $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} ((x + t)^3 - x) = (0 + t)^3 - 0 = t^3$$ 3. El valor de la función en el punto coincide con el límite por la izquierda: $$f(0) = 0 + 2t = 2t$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que exista el límite en un punto de salto, los límites por la izquierda y por la derecha deben ser iguales.

Igualamos ambos límites laterales para hallar los valores de $t$ que garantizan la continuidad: $$t^3 = 2t$$ Para resolver esta ecuación, la igualamos a cero y factorizamos: $$t^3 - 2t = 0 \implies t(t^2 - 2) = 0$$ De aquí obtenemos tres posibles soluciones: - $t = 0$ - $t^2 - 2 = 0 \implies t^2 = 2 \implies t = \sqrt{2}$ o $t = -\sqrt{2}$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{t = 0, \quad t = \sqrt{2}, \quad t = -\sqrt{2}}$$

**b) Para $t = 0$, calcula los extremos relativos de la función $f(x)$ en el intervalo $(0, +\infty)$. (0.5 ptos)** **c) Para $t = 0$, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$ en $(0, +\infty)$. (0.5 ptos)** Si $t = 0$, la función en el intervalo $(0, +\infty)$ se simplifica a: $$f(x) = (x + 0)^3 - x = x^3 - x$$ Para hallar los extremos y la monotonía, calculamos su primera derivada: $$f'(x) = 3x^2 - 1$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$3x^2 - 1 = 0 \implies 3x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{3} \implies x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$$ Como el estudio se restringe al intervalo **$(0, +\infty)$**, solo consideramos el valor positivo: $$x = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577$$ 💡 **Tip:** Los extremos relativos solo pueden ocurrir en puntos donde la derivada es cero o no existe.

Analizamos el signo de $f'(x) = 3x^2 - 1$ en el intervalo $(0, +\infty)$ dividiéndolo por el punto crítico encontrado: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, \frac{\sqrt{3}}{3}) & \frac{\sqrt{3}}{3} & (\frac{\sqrt{3}}{3}, +\infty)\\\hline f'(x) & - & 0 & +\\\hline f(x) & \searrow & \text{mín} & \nearrow \end{array}$$ - En el intervalo **$(0, \frac{\sqrt{3}}{3})$**, tomamos $x = 0.1$: $f'(0.1) = 3(0.01) - 1 = -0.97 \lt 0$ (decreciente). - En el intervalo **$(\frac{\sqrt{3}}{3}, +\infty)$**, tomamos $x = 1$: $f'(1) = 3(1)^2 - 1 = 2 \gt 0$ (creciente). Calculamos la ordenada del punto mínimo: $$f\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^3 - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{27} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{3\sqrt{3}}{9} = -\frac{2\sqrt{3}}{9} \approx -0.385$$ ✅ **Resultados:** $$\text{Extremo relativo: } \boxed{\text{Mínimo en } \left(\frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{2\sqrt{3}}{9}\right)}$$ $$\text{Decreciente: } \boxed{\left(0, \frac{\sqrt{3}}{3}\right)} \quad \text{Creciente: } \boxed{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}, +\infty\right)}$$