Cálculo de parámetros en una función polinómica

Para hallar los parámetros $a, b$ y $c$, debemos traducir los datos del enunciado en ecuaciones matemáticas. La función es: $$J(x) = a x^4 + b x^3 + c x$$ Las condiciones dadas son: 1. **Derivada en el origen:** En el origen de coordenadas $(0,0)$, la derivada vale $-2$. Esto significa que $J'(0) = -2$. 2. **Punto de paso:** El punto $(2,0)$ es un punto de inflexión, lo que implica que la función pasa por ese punto: $J(2) = 0$. 3. **Punto de inflexión:** Al ser $(2,0)$ un punto de inflexión, la segunda derivada en $x=2$ debe ser igual a cero: $J''(2) = 0$. Calculamos primero las derivadas de la función: $$J'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + c$$ $$J''(x) = 12ax^2 + 6bx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que un punto de inflexión en $x=x_0$ requiere que $J''(x_0)=0$ (condición necesaria) y que exista un cambio de curvatura en dicho punto.

Utilizamos la primera condición: la derivada en el origen es $-2$. Como $J'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + c$: $$J'(0) = 4a(0)^3 + 3b(0)^2 + c = -2$$ $$0 + 0 + c = -2$$ Por lo tanto, ya tenemos el valor del primer parámetro: $$\boxed{c = -2}$$

Utilizamos la segunda condición: el punto $(2,0)$ pertenece a la gráfica de la función, por lo tanto $J(2) = 0$. Sustituimos $x=2$ y el valor de $c=-2$ en $J(x)$: $$J(2) = a(2)^4 + b(2)^3 + (-2)(2) = 0$$ $$16a + 8b - 4 = 0$$ Podemos simplificar la ecuación dividiendo todos los términos entre 4: $$4a + 2b - 1 = 0 \implies 4a + 2b = 1 \quad [Ec. 1]$$ 💡 **Tip:** Siempre que te den un punto $(x, y)$, la primera condición directa es que $f(x)=y$.

Utilizamos la tercera condición: en $x=2$ hay un punto de inflexión, por lo tanto $J''(2) = 0$. Como $J''(x) = 12ax^2 + 6bx$: $$J''(2) = 12a(2)^2 + 6b(2) = 0$$ $$48a + 12b = 0$$ Simplificamos dividiendo entre 12: $$4a + b = 0 \implies b = -4a \quad [Ec. 2]$$

Ahora resolvemos el sistema formado por $[Ec. 1]$ y $[Ec. 2]$: 1) $4a + 2b = 1$ 2) $b = -4a$ Sustituimos el valor de $b$ de la segunda ecuación en la primera: $$4a + 2(-4a) = 1$$ $$4a - 8a = 1$$ $$-4a = 1 \implies a = -\frac{1}{4}$$ Ahora calculamos $b$ sustituyendo el valor de $a$: $$b = -4 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = 1$$ ✅ **Resultado final:** Los valores de los parámetros son: $$\boxed{a = -\frac{1}{4}, \quad b = 1, \quad c = -2}$$