Probabilidad de alcohol y drogas en accidentes de tráfico

En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema a partir del enunciado: - $A$: El conductor supera los límites de alcohol en sangre. - $D$: El conductor tiene presencia de drogas en sangre. Extraemos los datos en términos de probabilidad (dividiendo los porcentajes entre 100): - $P(A) = 0.29$ - $P(D) = 0.14$ - $P(A \cup D) = 0.37$ (esto representa la unión, es decir, alcohol o drogas o ambas). Podemos visualizar la situación inicial con una tabla de contingencia, aunque falten algunos valores internos que calcularemos a continuación: $$\begin{array}{c|cc|c} & \text{Drogas (} D \text{)} & \text{No Drogas (} \bar{D} \text{)} & \text{Total} \\ \hline \text{Alcohol (} A \text{)} & P(A \cap D) & ? & 0.29 \\ \text{No Alcohol (} \bar{A} \text{)} & ? & ? & 0.71 \\ \hline \text{Total} & 0.14 & 0.86 & 1.00 \end{array}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la probabilidad del suceso unión ($A \cup D$) se corresponde con la frase "uno, otro o ambos".

**a) Calcula la probabilidad de que, en un accidente de tráfico, el conductor supere los límites de alcohol y tenga presencia de drogas en sangre.** Nos piden la probabilidad de la intersección, $P(A \cap D)$. Para hallarla, utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión: $$P(A \cup D) = P(A) + P(D) - P(A \cap D)$$ Sustituimos los valores conocidos en la ecuación: $$0.37 = 0.29 + 0.14 - P(A \cap D)$$ Operamos en el lado derecho: $$0.37 = 0.43 - P(A \cap D)$$ Despejamos $P(A \cap D)$: $$P(A \cap D) = 0.43 - 0.37$$ $$P(A \cap D) = 0.06$$ Esto significa que el 6 % de los conductores presentan ambas sustancias. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cap D) = 0.06}$$ 💡 **Tip:** No olvides que la intersección ($A \cap D$) representa la probabilidad de que ocurran los dos sucesos simultáneamente.

**b) Razone si son independientes los sucesos superar los límites de alcohol y presencia de drogas en sangre.** Dos sucesos $A$ y $D$ son **independientes** si y solo si se cumple la siguiente condición: $$P(A \cap D) = P(A) \cdot P(D)$$ Calculamos el producto de las probabilidades individuales: $$P(A) \cdot P(D) = 0.29 \cdot 0.14 = 0.0406$$ Ahora comparamos este resultado con el valor de la intersección que calculamos en el apartado anterior: - $P(A \cap D) = 0.06$ - $P(A) \cdot P(D) = 0.0406$ Como $0.06 \neq 0.0406$, se concluye que: $$P(A \cap D) \neq P(A) \cdot P(D)$$ Por tanto, los sucesos **no son independientes** (son dependientes). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los sucesos son dependientes (no independientes)}}$$ 💡 **Tip:** En problemas de probabilidad, "razonar" implica siempre realizar la comprobación matemática mediante la definición de independencia.