Intervalo de confianza para la media poblacional

**a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional del rendimiento con un nivel de confianza del 95 %. (1 pto)** Primero, identificamos los datos del enunciado: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 1.2$ kg. - Tamaño de la muestra: $n = 40$. - Media muestral: $\bar{x} = 6.7$ kg. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95$. Para calcular el intervalo de confianza, necesitamos encontrar el valor crítico $Z_{\alpha/2}$ correspondiente al 95 %: 1. Si $1 - \alpha = 0.95$, entonces $\alpha = 0.05$. 2. Dividimos el error en dos colas: $\alpha/2 = 0.025$. 3. Buscamos el valor de $Z$ tal que $P(Z \le Z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.975$. Consultando la tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$, encontramos que para una probabilidad de $0.975$, el valor es: $$Z_{\alpha/2} = 1.96$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $Z_{\alpha/2}$ para el 95 % es uno de los más habituales en selectividad, siempre es $1.96$.

La fórmula del intervalo de confianza para la media es: $$IC = \left( \bar{x} - Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible $E$: $$E = Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \cdot \frac{1.2}{\sqrt{40}} = 1.96 \cdot \frac{1.2}{6.3246} \approx 1.96 \cdot 0.1897 = 0.3718$$ Ahora construimos el intervalo restando y sumando este error a la media muestral $\bar{x} = 6.7$: - Límite inferior: $6.7 - 0.3718 = 6.3282$ - Límite superior: $6.7 + 0.3718 = 7.0718$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC = (6.3282, 7.0718)}$$

**b) Explica razonadamente el efecto que tendría sobre el intervalo de confianza el aumento o la disminución del nivel de confianza. (0.5 ptos)** El ancho del intervalo de confianza depende directamente del valor crítico $Z_{\alpha/2}$, que a su vez depende del nivel de confianza $1-\alpha$. - **Si el nivel de confianza aumenta**: La probabilidad $1-\alpha$ es mayor, lo que implica que el valor de $Z_{\alpha/2}$ aumenta (necesitamos cubrir más área bajo la campana de Gauss). Al aumentar $Z_{\alpha/2}$, el error $E = Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ crece, por lo que el **intervalo se vuelve más ancho** (menos preciso pero más seguro). - **Si el nivel de confianza disminuye**: El valor de $Z_{\alpha/2}$ disminuye, lo que hace que el error sea menor. En consecuencia, el **intervalo se vuelve más estrecho** (más preciso pero menos seguro). 💡 **Tip:** Existe una relación directa entre confianza y amplitud: a mayor confianza, mayor amplitud del intervalo.

**c) ¿Es razonable que la media de rendimiento de esta especie sea $\mu=5$ kilos, con un nivel de confianza del 90 %? Razona tu respuesta. (0.5 ptos)** Para comprobar si es razonable, debemos ver si el valor $\mu = 5$ cae dentro del intervalo de confianza al 90 %. Calculamos el nuevo valor crítico para $1 - \alpha = 0.90$: 1. $\alpha = 0.10 \implies \alpha/2 = 0.05$. 2. Buscamos $P(Z \le Z_{\alpha/2}) = 1 - 0.05 = 0.95$. 3. En las tablas, el valor $0.95$ está entre $1.64$ y $1.65$, tomamos $Z_{\alpha/2} = 1.645$. Calculamos el nuevo error: $$E = 1.645 \cdot \frac{1.2}{\sqrt{40}} = 1.645 \cdot 0.1897 \approx 0.3121$$ El intervalo de confianza al 90 % es: $$IC_{90\%} = (6.7 - 0.3121, 6.7 + 0.3121) = (6.3879, 7.0121)$$ Dado que el valor propuesto $\mu = 5$ **no pertenece al intervalo** ($5 \notin (6.3879, 7.0121)$), podemos concluir que no es razonable. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No es razonable, ya que } \mu=5 \text{ está fuera del intervalo de confianza al 90\%}.}$$