Programación lineal: Minimización de peso en transporte

**a) Expresa la función objetivo. (0.25 ptos)** En primer lugar, identificamos las variables del problema basándonos en las cantidades que queremos calcular: - $x$: número de sacos de cemento. - $y$: número de sacos de yeso. El objetivo es minimizar el peso total transportado. Sabemos que cada saco de cemento pesa $30\text{ kg}$ y cada saco de yeso pesa $20\text{ kg}$. Por tanto, la función objetivo que representa el peso total $P$ en kilogramos es: $$P(x, y) = 30x + 20y$$ 💡 **Tip:** La función objetivo siempre representa la cantidad que queremos optimizar (maximizar o minimizar). En este caso, es una suma de productos: (peso por unidad) $\cdot$ (número de unidades). ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x, y) = 30x + 20y}$$

**b) Escribe mediante inecuaciones las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto definido. (0.75 ptos)** Traducimos las condiciones del enunciado a lenguaje algebraico: 1. El número de sacos de cemento ($x$) está entre 25 y 100: $$25 \le x \le 100$$ 2. El número de sacos de yeso ($y$) está entre 30 y 90: $$30 \le y \le 90$$ Como $x$ e $y$ representan cantidades de sacos, implícitamente deben ser valores positivos, lo cual ya queda cubierto por los límites inferiores (25 y 30). El sistema de inecuaciones es: $$\begin{cases} x \ge 25 \\ x \le 100 \\ y \ge 30 \\ y \le 90 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Estas restricciones definen un recinto rectangular en el plano cartesiano, ya que cada variable está limitada por valores constantes.

Representamos las rectas $x=25$, $x=100$, $y=30$ e $y=90$. El recinto (región factible) es la intersección de los semiplanos definidos por las inecuaciones. Los vértices del recinto son los puntos de corte de estas rectas: - Punto $A$: intersección de $x=25$ e $y=30 \implies \mathbf{A(25, 30)}$ - Punto $B$: intersección de $x=100$ e $y=30 \implies \mathbf{B(100, 30)}$ - Punto $C$: intersección de $x=100$ e $y=90 \implies \mathbf{C(100, 90)}$ - Punto $D$: intersección de $x=25$ e $y=90 \implies \mathbf{D(25, 90)}$ Representación gráfica de la región factible:

**c) Halla el número de sacos de cada clase que debe llevar para que el peso transportado sea mínimo. (0.5 ptos)** Según el teorema fundamental de la programación lineal, el mínimo de la función objetivo se encuentra en uno de los vértices del recinto factible. Evaluamos $P(x, y) = 30x + 20y$ en cada vértice: - En $A(25, 30)$: $P(25, 30) = 30(25) + 20(30) = 750 + 600 = \mathbf{1350\text{ kg}}$ - En $B(100, 30)$: $P(100, 30) = 30(100) + 20(30) = 3000 + 600 = 3600\text{ kg}$ - En $C(100, 90)$: $P(100, 90) = 30(100) + 20(90) = 3000 + 1800 = 4800\text{ kg}$ - En $D(25, 90)$: $P(25, 90) = 30(25) + 20(90) = 750 + 1800 = 2550\text{ kg}$ El valor mínimo obtenido es $1350\text{ kg}$, que corresponde al punto $A(25, 30)$. 💡 **Tip:** Como los coeficientes de la función objetivo son positivos ($30$ y $20$), el mínimo siempre se dará en el punto con las coordenadas más pequeñas posibles dentro de la región. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Debe llevar 25 sacos de cemento y 30 sacos de yeso}}$$