Álgebra 2017 Castilla la Mancha
Sistema de ecuaciones: Venta de entradas para eventos
2. A través de una página de internet se han vendido hoy entradas para tres eventos distintos: 120 entradas para un estreno de cine, 50 entradas para una función teatral y 150 entradas para un concierto de música. El valor total de lo recaudado en total por esta venta de entradas es de 6460 euros. Sabemos que el precio de dos entradas de teatro equivale al de cinco entradas de cine. El precio de dos entradas para el concierto musical equivale al de tres entradas de teatro.
a) Plantea un sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuánto vale cada una de las entradas para cada evento. (1.5 ptos)
b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 ptos)
Paso 1
Definición de variables
**a) Plantea un sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuánto vale cada una de las entradas para cada evento. (1.5 ptos)**
En primer lugar, debemos identificar las incógnitas del problema, que son los precios de las entradas para cada evento:
- $x$: precio de una entrada de cine (€).
- $y$: precio de una entrada de teatro (€).
- $z$: precio de una entrada de concierto (€).
💡 **Tip:** Definir claramente las variables es el primer paso fundamental en cualquier problema de álgebra para evitar confusiones al plantear las ecuaciones.
Paso 2
Traducción del enunciado a ecuaciones
A continuación, traducimos la información del enunciado en expresiones algebraicas:
1. **Recaudación total:** Se venden 120 de cine, 50 de teatro y 150 de concierto por un total de 6460 €:
$$120x + 50y + 150z = 6460$$
2. **Relación teatro-cine:** El precio de dos de teatro ($2y$) equivale al de cinco de cine ($5x$):
$$2y = 5x \implies 5x - 2y = 0$$
3. **Relación concierto-teatro:** El precio de dos de concierto ($2z$) equivale al de tres de teatro ($3y$):
$$2z = 3y \implies 3y - 2z = 0$$
💡 **Tip:** Cuando el enunciado dice "A equivale a B", solemos escribirlo como una igualdad directa $A = B$.
Paso 3
Planteamiento del sistema final
Agrupamos las ecuaciones obtenidas para formar el sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas:
$$\begin{cases} 120x + 50y + 150z = 6460 \\ 5x - 2y = 0 \\ 3y - 2z = 0 \end{cases}$$
Podemos simplificar la primera ecuación dividiendo todo entre 10 para trabajar con números más pequeños:
✅ **Resultado del planteamiento:**
$$\boxed{\begin{cases} 12x + 5y + 15z = 646 \\ 5x - 2y = 0 \\ 3y - 2z = 0 \end{cases}}$$
Paso 4
Preparación para la resolución por sustitución
**b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 ptos)**
Para resolverlo, utilizaremos el **método de sustitución**, ya que es sencillo despejar $x$ y $z$ en función de $y$ a partir de la segunda y tercera ecuación:
De la segunda ecuación:
$$5x = 2y \implies x = \frac{2}{5}y = 0,4y$$
De la tercera ecuación:
$$2z = 3y \implies z = \frac{3}{2}y = 1,5y$$
💡 **Tip:** El método de sustitución es muy eficiente cuando algunas ecuaciones relacionan solo dos variables de forma directa.
Paso 5
Resolución de la ecuación principal
Sustituimos las expresiones de $x$ y $z$ en la primera ecuación simplificada ($12x + 5y + 15z = 646$):
$$12(0,4y) + 5y + 15(1,5y) = 646$$
Realizamos las operaciones:
$$4,8y + 5y + 22,5y = 646$$
Sumamos los términos en $y$:
$$(4,8 + 5 + 22,5)y = 646 \implies 32,3y = 646$$
Despejamos $y$:
$$y = \frac{646}{32,3} = 20$$
El precio de la entrada de teatro es de **20 €**.
Paso 6
Cálculo del resto de incógnitas y solución final
Ahora calculamos los valores de $x$ y $z$ utilizando el valor de $y=20$:
Para el cine ($x$):
$$x = 0,4 \cdot 20 = 8$$
Para el concierto ($z$):
$$z = 1,5 \cdot 20 = 30$$
Comprobamos en la recaudación: $120(8) + 50(20) + 150(30) = 960 + 1000 + 4500 = 6460$. Es correcto.
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{\begin{aligned} &\text{Cine: } 8 \text{ €} \\ &\text{Teatro: } 20 \text{ €} \\ &\text{Concierto: } 30 \text{ €} \end{aligned}}$$