Continuidad y representación de una función a trozos

**a) Halla el valor de $t$ para que $f$ sea continua en $x = 1$. (0.5 ptos)** Para que una función sea continua en un punto $x = a$, se deben cumplir tres condiciones: 1. Que exista la función en el punto: $f(a)$ 2. Que exista el límite de la función cuando $x$ tiende a $a$: $\lim_{x \to a} f(x)$ 3. Que ambos valores coincidan: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ En nuestro caso, para $x = 1$: - Valor de la función: $f(1) = 4$ (según la segunda rama). - Límite por la izquierda ($x \to 1^-$): Usamos la rama central. $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} 4 = 4$$ - Límite por la derecha ($x \to 1^+$): Usamos la tercera rama. $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (tx - 6)^2 = (t \cdot 1 - 6)^2 = (t - 6)^2$$ 💡 **Tip:** Para que exista el límite, los límites laterales deben ser iguales. Como el valor en el punto coincide con el límite por la izquierda, solo debemos igualar el límite por la derecha a ese valor.

Igualamos los límites laterales para garantizar la continuidad: $$(t - 6)^2 = 4$$ Para resolver esta ecuación, aplicamos la raíz cuadrada en ambos lados: $$t - 6 = \pm \sqrt{4} \implies t - 6 = \pm 2$$ Esto nos da dos posibles soluciones para $t$: 1. $t - 6 = 2 \implies t = 2 + 6 = 8$ 2. $t - 6 = -2 \implies t = -2 + 6 = 4$ Por tanto, existen dos valores de $t$ que hacen que la función sea continua en $x = 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{t = 4 \quad \text{y} \quad t = 8}$$

**b) Para $t = 2$, representa gráficamente la función $f$. (1 pto)** Sustituimos $t = 2$ en la expresión original para obtener la función que vamos a representar: $$f(x) = \begin{cases} (x + 4)^2 & \text{si } x < -1 \\ 4 & \text{si } -1 \le x \le 1 \\ (2x - 6)^2 & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ Analizamos cada tramo para facilitar el dibujo: - **Tramo 1 ($x < -1$):** Es una parábola $y = (x + 4)^2$. Su vértice está en $(-4, 0)$ y abre hacia arriba. En el extremo del tramo $f(-1) = (-1 + 4)^2 = 9$ (punto abierto). - **Tramo 2 ($-1 \le x \le 1$):** Es una función constante $y = 4$. Es una línea horizontal. - **Tramo 3 ($x > 1$):** Es otra parábola $y = (2x - 6)^2$. Podemos verla como $y = 4(x-3)^2$. Su vértice está en $(3, 0)$ y abre hacia arriba. En el extremo del tramo $f(1) = (2(1) - 6)^2 = 16$ (punto abierto). 💡 **Tip:** Nota que para $t=2$ la función presenta saltos en $x=-1$ y $x=1$, ya que no se cumplen las condiciones de continuidad en esos puntos para este valor de $t$.

A continuación se muestra la gráfica de la función. Observa los saltos entre los intervalos (discontinuidades de salto finito): - En $x = -1$, la función pasa de $y = 9$ a $y = 4$. - En $x = 1$, la función pasa de $y = 4$ a $y = 16$.