Análisis de la velocidad de un ciclista

**a) Teniendo en cuenta que el ciclista se detiene cuando completa una vuelta al circuito, calcula cuánto tiempo tarda en completarlo (0.5 ptos).** El enunciado nos indica que el ciclista se detiene al completar la vuelta. En términos matemáticos, detenerse significa que su velocidad es cero, es decir, $V(x) = 0$. Debemos resolver la ecuación: $$- \frac{1}{20} x^4 + \frac{1}{2} x^3 = 0$$ Para resolverla, extraemos factor común $x^3$: $$x^3 \left( - \frac{1}{20} x + \frac{1}{2} \right) = 0$$ Esto nos da dos posibles soluciones: 1. $x^3 = 0 \implies x = 0$ (Este es el instante inicial, cuando comienza el movimiento). 2. $- \frac{1}{20} x + \frac{1}{2} = 0$ Resolvemos la segunda ecuación: $$- \frac{1}{20} x = - \frac{1}{2}$$ $$x = \frac{20}{2} = 10$$ 💡 **Tip:** Recuerda que un producto es cero si alguno de sus factores es cero. Extraer factor común es la técnica más rápida para polinomios sin término independiente. Por lo tanto, el ciclista tarda **10 minutos** en completar el circuito. ✅ **Resultado:** $$\boxed{10 \text{ minutos}}$$

**b) Determina en qué intervalo su velocidad es creciente y en qué intervalo es decreciente (0.5 ptos).** Para determinar el crecimiento y decrecimiento, debemos estudiar el signo de la primera derivada $V'(x)$ en el intervalo del dominio $[0, 10]$. Calculamos la derivada de $V(x) = - \frac{1}{20} x^4 + \frac{1}{2} x^3$: $$V'(x) = - \frac{4}{20} x^3 + \frac{3}{2} x^2 = - \frac{1}{5} x^3 + \frac{3}{2} x^2$$ Ahora buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$- \frac{1}{5} x^3 + \frac{3}{2} x^2 = 0$$ Extraemos factor común $x^2$: $$x^2 \left( - \frac{1}{5} x + \frac{3}{2} \right) = 0$$ Las soluciones son: - $x^2 = 0 \implies x = 0$ - $- \frac{1}{5} x + \frac{3}{2} = 0 \implies \frac{1}{5} x = \frac{3}{2} \implies x = \frac{15}{2} = 7.5$$ 💡 **Tip:** Los puntos donde la derivada es cero son candidatos a máximos o mínimos y dividen el dominio en intervalos de monotonía constante.

Analizamos el signo de $V'(x)$ en los intervalos determinados por el punto crítico $x = 7.5$ dentro del dominio $[0, 10]$. $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 7.5) & 7.5 & (7.5, 10)\\\hline V'(x) & + & 0 & -\\\hline \text{Comportamiento} & \text{Creciente} (\nearrow) & \text{Máximo} & \text{Decreciente} (\searrow) \end{array}$$ - En el intervalo $(0, 7.5)$, si tomamos $x=1$: $V'(1) = -0.2 + 1.5 = 1.3 > 0$ (**Creciente**). - En el intervalo $(7.5, 10)$, si tomamos $x=8$: $V'(8) = -\frac{1}{5}(512) + \frac{3}{2}(64) = -102.4 + 96 = -6.4 < 0$ (**Decreciente**). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Creciente en } (0, 7.5) \\ &\text{Decreciente en } (7.5, 10) \end{aligned}}$$

**c) Determina en qué instante alcanza la velocidad máxima y cuál es esa velocidad (0.5 ptos).** Del estudio de la monotonía en el apartado anterior, sabemos que existe un máximo relativo en el punto donde la función pasa de ser creciente a decreciente, que ocurre en el instante: $$x = 7.5 \text{ minutos}$$ Para hallar el valor de la velocidad máxima, sustituimos este valor en la función original $V(x)$: $$V(7.5) = - \frac{1}{20} (7.5)^4 + \frac{1}{2} (7.5)^3$$ Calculamos las potencias: - $(7.5)^3 = 421.875$ - $(7.5)^4 = 3164.0625$ Sustituimos: $$V(7.5) = - \frac{3164.0625}{20} + \frac{421.875}{2}$$ $$V(7.5) = -158.203125 + 210.9375$$ $$V(7.5) = 52.734375 \text{ Km/h}$$ 💡 **Tip:** Es conveniente trabajar con un par de decimales o fracciones si el resultado es exacto. Aquí el resultado es exacto con 6 decimales, pero podemos redondear razonablemente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Instante: } 7.5 \text{ min, Velocidad: } 52.73 \text{ Km/h}}$$

A continuación se muestra la gráfica de la velocidad del ciclista durante los 10 minutos que dura la vuelta al circuito. Se puede observar el punto de velocidad máxima calculado.