Probabilidad y Cáncer de Pulmón

Para resolver este ejercicio de probabilidad, primero debemos identificar los sucesos y los datos que nos proporciona el enunciado. Sea el suceso: $C = \text{"Una persona fumadora padece cáncer de pulmón"}$ Según el enunciado: $P(C) = 0.1$ Por lo tanto, el suceso contrario (no padecer cáncer) será: $P(\bar{C}) = 1 - P(C) = 1 - 0.1 = 0.9$ Además, se nos indica que el hecho de padecer cáncer es **independiente** entre distintas personas. Esto significa que la probabilidad de que ocurran varios sucesos a la vez es el producto de sus probabilidades individuales. 💡 **Tip:** Recuerda que si dos sucesos $A$ y $B$ son independientes, entonces $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

**a) Si dos personas fuman habitualmente, ¿cuál es la probabilidad de que las dos padezcan cáncer de pulmón? (0.25 ptos)** Representamos el experimento de dos fumadores mediante un árbol de probabilidad: Llamamos $C_1$ al cáncer en la primera persona y $C_2$ en la segunda. Al ser sucesos independientes, la probabilidad de que ambos padezcan la enfermedad es: $$P(C_1 \cap C_2) = P(C_1) \cdot P(C_2)$$ $$P(C_1 \cap C_2) = 0.1 \cdot 0.1 = 0.01$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{ambas padecern cáncer}) = 0.01}$$

**b) ¿Cuál es la probabilidad de que padezcan cáncer de pulmón al menos una de cuatro personas que fuman habitualmente? (0.5 ptos)** En este caso tenemos $n=4$ personas. Calcular la probabilidad de "al menos una" directamente es laborioso (tendríamos que sumar las probabilidades de que lo padezca 1, 2, 3 o las 4 personas). Es mucho más sencillo utilizar el **suceso contrario**. El contrario de "al menos una padece cáncer" es "ninguna padece cáncer". $$P(\text{al menos una}) = 1 - P(\text{ninguna})$$ Como los sucesos son independientes, la probabilidad de que ninguna de las 4 padezca cáncer es: $$P(\text{ninguna}) = P(\bar{C}) \cdot P(\bar{C}) \cdot P(\bar{C}) \cdot P(\bar{C}) = (0.9)^4$$ Calculamos la potencia: $$(0.9)^4 = 0.6561$$ Por tanto: $$P(\text{al menos una}) = 1 - 0.6561 = 0.3439$$ 💡 **Tip:** En problemas de probabilidad, cuando veas la expresión "al menos uno", casi siempre es recomendable usar el suceso complementario: $P(\text{Al menos uno}) = 1 - P(\text{Ninguno})$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{al menos una de cuatro}) = 0.3439}$$

**c) ¿Cuál es la probabilidad de que padezca cáncer de pulmón exactamente una de dos que fuman habitualmente? (0.75 ptos)** Si tenemos dos personas (Persona 1 y Persona 2), el suceso "exactamente una padece cáncer" puede ocurrir de dos formas excluyentes: 1. La primera persona padece cáncer ($C_1$) y la segunda no ($\bar{C}_2$). 2. La primera persona no padece cáncer ($\bar{C}_1$) y la segunda sí ($C_2$). Expresado matemáticamente: $$P(\text{exactamente una}) = P(C_1 \cap \bar{C}_2) + P(\bar{C}_1 \cap C_2)$$ Aplicando la independencia de los sucesos: $$P(\text{exactamente una}) = [P(C_1) \cdot P(\bar{C}_2)] + [P(\bar{C}_1) \cdot P(C_2)]$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(\text{exactamente una}) = (0.1 \cdot 0.9) + (0.9 \cdot 0.1)$$ $$P(\text{exactamente una}) = 0.09 + 0.09 = 0.18$$ 💡 **Tip:** También podrías resolverlo pensando en una distribución Binomial $B(n, p)$, donde $n=2$, $p=0.1$ y buscamos $P(X=1)$: $P(X=1) = \binom{2}{1} \cdot 0.1^1 \cdot 0.9^1 = 2 \cdot 0.09 = 0.18$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{exactamente una de dos}) = 0.18}$$