Intervalo de confianza y tamaño muestral para el gasto eléctrico

**a) Halla un intervalo de confianza para la media poblacional del gasto por hogar, con un nivel de confianza del 97 % (1.25 ptos)** Primero, identificamos los datos del problema: - La población sigue una distribución normal: $X \sim N(\mu, \sigma)$ - Desviación típica poblacional: $\sigma = 7$ - Tamaño de la muestra: $n = 10$ Calculamos la media de la muestra ($\bar{x}$) sumando los valores de los 10 hogares y dividiendo entre el total: $$\bar{x} = \frac{25 + 29 + 30 + 32 + 24 + 28 + 31 + 32 + 33 + 32}{10}$$ $$\bar{x} = \frac{296}{10} = 29,6$$ 💡 **Tip:** La media muestral es el mejor estimador puntual de la media poblacional $\mu$. $$\boxed{\bar{x} = 29,6 \text{ euros}}$$

Para un nivel de confianza del $97\%$, tenemos: $$1 - \alpha = 0,97 \implies \alpha = 0,03 \implies \frac{\alpha}{2} = 0,015$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0,015 = 0,985$$ Buscando en la tabla de la distribución normal estándar $N(0,1)$, el valor de probabilidad $0,985$ corresponde exactamente a: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2,17}$$ 💡 **Tip:** Si el valor no aparece exacto en la tabla, tomamos el más cercano o realizamos una interpolación lineal.

La fórmula del intervalo de confianza para la media es: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2,17 \cdot \frac{7}{\sqrt{10}} \approx 2,17 \cdot \frac{7}{3,1623} \approx 2,17 \cdot 2,2136 = 4,8035$$ Ahora construimos el intervalo: $$I.C. = (29,6 - 4,8035, 29,6 + 4,8035)$$ $$I.C. = (24,7965, 34,4035)$$ Redondeando a dos decimales: ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (24,80, 34,40)}$$

**b) ¿Cuál deberá ser el tamaño mínimo de la muestra para que, con el mismo nivel de confianza, el error máximo admisible sea menor que 2 euros? (0.75 ptos)** El error máximo admisible se define como: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Queremos que $E < 2$. Manteniendo el nivel de confianza del $97\%$, usamos el mismo valor crítico $z_{\alpha/2} = 2,17$ y la misma desviación típica $\sigma = 7$. Planteamos la inecuación: $$2,17 \cdot \frac{7}{\sqrt{n}} < 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para disminuir el error, debemos aumentar el tamaño de la muestra $n$.

Despejamos $n$ de la expresión anterior: $$\frac{15,19}{\sqrt{n}} < 2 \implies 15,19 < 2\sqrt{n}$$ $$\frac{15,19}{2} < \sqrt{n} \implies 7,595 < \sqrt{n}$$ Elevamos al cuadrado ambos miembros para eliminar la raíz: $$(7,595)^2 < n \implies 57,684 < n$$ Como el tamaño de la muestra $n$ debe ser un número entero, debemos tomar el primer entero mayor que $57,684$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 58 \text{ hogares}}$$