Operaciones matriciales y ecuaciones

**a) Realiza el producto $M \cdot M^t$ (siendo $M^t$ la matriz transpuesta de $M$ ). (0.5 ptos)** Primero, identificamos la matriz $M$ y calculamos su transpuesta $M^t$. La matriz $M$ es una matriz columna de dimensiones $2 \times 1$: $$M = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \end{pmatrix}$$ Su transpuesta $M^t$ se obtiene cambiando la columna por una fila, resultando en una matriz $1 \times 2$: $$M^t = \begin{pmatrix} -2 & -1 \end{pmatrix}$$ Ahora realizamos el producto $M \cdot M^t$. Al multiplicar una matriz $2 \times 1$ por una $1 \times 2$, el resultado será una matriz de dimensiones $2 \times 2$: $$M \cdot M^t = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2) \cdot (-2) & (-2) \cdot (-1) \\ (-1) \cdot (-2) & (-1) \cdot (-1) \end{pmatrix}$$ Operando cada elemento: $$M \cdot M^t = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que el producto $A \cdot B$ sea posible, el número de columnas de $A$ debe coincidir con el de filas de $B$. El resultado tiene las filas de $A$ y las columnas de $B$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{M \cdot M^t = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}}$$

**b) Despeja $X$ en la siguiente expresión matricial: $P \cdot X = M \cdot M^t$. (0.5 ptos)** Para despejar $X$ en la ecuación $P \cdot X = M \cdot M^t$, debemos "quitar" la matriz $P$ que está multiplicando por la izquierda. Para ello, multiplicamos ambos miembros de la igualdad por la matriz inversa $P^{-1}$ por la izquierda: $$P^{-1} \cdot (P \cdot X) = P^{-1} \cdot (M \cdot M^t)$$ Aplicando la propiedad asociativa y sabiendo que $P^{-1} \cdot P = I$ (matriz identidad): $$I \cdot X = P^{-1} \cdot (M \cdot M^t)$$ Como la matriz identidad es el elemento neutro del producto matricial ($I \cdot X = X$): $$X = P^{-1} \cdot (M \cdot M^t)$$ 💡 **Tip:** En álgebra matricial no existe la división. Para "pasar una matriz al otro lado", multiplicamos por su inversa. ¡Es crucial mantener el orden! Si $P$ está a la izquierda de $X$, su inversa debe entrar por la izquierda en ambos lados. ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = P^{-1} \cdot (M \cdot M^t)}$$

**c) Si $P = \begin{pmatrix} -2 & -3 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$, obtén la expresión de la matriz $X$ del apartado anterior. (0.5 ptos)** Para hallar $X$, primero necesitamos calcular $P^{-1}$. El primer paso es calcular el determinante de $P$: $$|P| = \begin{vmatrix} -2 & -3 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = (-2) \cdot 4 - (-3) \cdot 3 = -8 - (-9) = -8 + 9 = 1$$ Como $|P| \neq 0$, existe la matriz inversa. La calculamos mediante la fórmula $P^{-1} = \frac{1}{|P|} \text{adj}(P)^t$. 1. Calculamos la matriz de adjuntos (cofactores): - $Adj_{11} = 4$ - $Adj_{12} = -3$ - $Adj_{21} = -(-3) = 3$ - $Adj_{22} = -2$ $$\text{adj}(P) = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$$ 2. Trasponemos la matriz de adjuntos: $$\text{adj}(P)^t = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -3 & -2 \end{pmatrix}$$ 3. Dividimos por el determinante ($|P|=1$): $$P^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -3 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -3 & -2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para matrices $2 \times 2$, un truco rápido para la inversa es intercambiar los elementos de la diagonal principal, cambiar el signo a los de la diagonal secundaria y dividir todo por el determinante. $$\boxed{P^{-1} = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -3 & -2 \end{pmatrix}}$$

Sustituimos $P^{-1}$ y el producto $M \cdot M^t$ (calculado en el apartado a) en la expresión de $X$: $$X = P^{-1} \cdot (M \cdot M^t) = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -3 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: $$X = \begin{pmatrix} 4 \cdot 4 + 3 \cdot 2 & 4 \cdot 2 + 3 \cdot 1 \\ -3 \cdot 4 + (-2) \cdot 2 & -3 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 16 + 6 & 8 + 3 \\ -12 - 4 & -6 - 2 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 22 & 11 \\ -16 & -8 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 22 & 11 \\ -16 & -8 \end{pmatrix}}$$