Álgebra 2017 Castilla la Mancha
Problema de sistemas de ecuaciones lineales: Venta de entradas
2. A través de una página de internet se han vendido hoy 320 entradas para tres eventos distintos: un estreno de cine, una función teatral y un concierto de música. El valor de lo recaudado en total por esta venta de entradas es de 6460 euros. Sabemos que una entrada de cine vale 8 euros, una de teatro 20 euros y una para el concierto de música vale 30 euros. El número de entradas para el concierto musical es triple que las de teatro.
a) Plantea un sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántas entradas se han vendido para cada uno de los eventos. (1.5 ptos)
b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 ptos)
Paso 1
Definición de variables y planteamiento del sistema
**a) Plantea un sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántas entradas se han vendido para cada uno de los eventos. (1.5 ptos)**
En primer lugar, definimos las incógnitas que representan las cantidades que queremos hallar:
- $x$: número de entradas vendidas para el estreno de cine.
- $y$: número de entradas vendidas para la función teatral.
- $z$: número de entradas vendidas para el concierto de música.
A continuación, traducimos el enunciado a lenguaje algebraico:
1. **Total de entradas:** Se han vendido 320 entradas en total:
$$x + y + z = 320$$
2. **Recaudación total:** El valor total recaudado es de 6460 €, sabiendo los precios de cada entrada (8 €, 20 € y 30 € respectivamente):
$$8x + 20y + 30z = 6460$$
3. **Relación entre entradas:** El número de entradas para el concierto ($z$) es el triple que las de teatro ($y$):
$$z = 3y$$
💡 **Tip:** Al plantear problemas de sistemas, asegúrate de que todas las unidades sean coherentes (euros con euros, número de unidades con número de unidades).
El sistema de ecuaciones planteado es:
$$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 320 \\ 8x + 20y + 30z = 6460 \\ z = 3y \end{cases}}$$
Paso 2
Simplificación del sistema por sustitución
**b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 ptos)**
Para resolverlo, utilizaremos el **método de sustitución**, aprovechando que ya tenemos la $z$ despejada en la tercera ecuación ($z = 3y$). Sustituimos este valor en las otras dos ecuaciones:
Sustituyendo en la primera ecuación:
$$x + y + (3y) = 320 \implies x + 4y = 320$$
Sustituyendo en la segunda ecuación:
$$8x + 20y + 30(3y) = 6460$$
$$8x + 20y + 90y = 6460 \implies 8x + 110y = 6460$$
Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
$$\begin{cases} x + 4y = 320 \\ 8x + 110y = 6460 \end{cases}$$
💡 **Tip:** Sustituir una variable ya despejada reduce el número de incógnitas rápidamente, facilitando el cálculo.
Paso 3
Resolución del sistema de dos incógnitas
Despejamos $x$ en la primera ecuación resultante:
$$x = 320 - 4y$$
Sustituimos esta expresión en la segunda ecuación:
$$8(320 - 4y) + 110y = 6460$$
$$2560 - 32y + 110y = 6460$$
Agrupamos términos con $y$ y pasamos los números al otro lado:
$$78y = 6460 - 2560$$
$$78y = 3900$$
$$y = \frac{3900}{78} = 50$$
Ya tenemos el valor de $y$ (teatro):
$$\boxed{y = 50}$$
Paso 4
Cálculo de las incógnitas restantes y solución final
Una vez hallado $y=50$, calculamos las otras dos variables:
1. Para hallar $z$ (concierto), usamos la relación $z = 3y$:
$$z = 3 \cdot 50 = 150$$
2. Para hallar $x$ (cine), usamos la expresión despejada $x = 320 - 4y$:
$$x = 320 - 4(50) = 320 - 200 = 120$$
**Comprobación:**
- $120 + 50 + 150 = 320$ (Correcto)
- $8(120) + 20(50) + 30(150) = 960 + 1000 + 4500 = 6460$ (Correcto)
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{\text{Cine (x): 120, Teatro (y): 50, Concierto (z): 150}}$$