Cálculo de parámetros de una función cúbica

Para hallar los tres parámetros $a$, $b$ y $c$, necesitamos plantear un sistema de tres ecuaciones a partir de la información proporcionada sobre la función $H(x) = ax^3 + bx + c$. Las condiciones son: 1. **Punto de paso:** La función pasa por el punto $(0, 2/3)$. Esto significa que $H(0) = 2/3$. 2. **Punto de inflexión:** En $x=0$ hay un punto de inflexión, lo que implica que la segunda derivada es cero: $H''(0) = 0$. 3. **Punto de paso:** La función pasa por el punto $(4, 6)$. Esto significa que $H(4) = 6$. 4. **Máximo relativo:** En $x=4$ hay un extremo relativo, lo que implica que la primera derivada es cero: $H'(4) = 0$. Calculamos primero las derivadas generalistas de $H(x)$: - $H'(x) = 3ax^2 + b$ - $H''(x) = 6ax$ 💡 **Tip:** Recuerda que si un punto $(x_0, y_0)$ es un extremo relativo o punto de inflexión, la función siempre debe cumplir $H(x_0) = y_0$ (pertenece a la gráfica).

Utilizamos la condición del punto de inflexión $(0, 2/3)$. Como el punto pertenece a la gráfica: $$H(0) = a(0)^3 + b(0) + c = \frac{2}{3}$$ De aquí obtenemos directamente el valor de $c$: $$0 + 0 + c = \frac{2}{3} \implies c = \frac{2}{3}$$ Notemos que la condición de punto de inflexión $H''(0) = 0$ se cumple siempre para esta función, ya que $H''(0) = 6a(0) = 0$, independientemente del valor de $a$. ✅ **Valor obtenido:** $$\boxed{c = \frac{2}{3}}$$

Ahora utilizamos la información del máximo relativo en $(4, 6)$: **Condición 1: El punto $(4, 6)$ pertenece a la función ($H(4)=6$):** $$a(4)^3 + b(4) + c = 6$$ $$64a + 4b + \frac{2}{3} = 6$$ Restamos $2/3$ en ambos lados: $$64a + 4b = 6 - \frac{2}{3} \implies 64a + 4b = \frac{16}{3}$$ Podemos simplificar dividiendo entre 4: $$16a + b = \frac{4}{3} \quad \text{(Ecuación 1)}$$ **Condición 2: Hay un máximo en $x=4$ ($H'(4)=0$):** Utilizamos $H'(x) = 3ax^2 + b$: $$H'(4) = 3a(4)^2 + b = 0$$ $$48a + b = 0 \implies b = -48a \quad \text{(Ecuación 2)}$$ 💡 **Tip:** En un máximo o mínimo relativo de una función derivable, la pendiente de la recta tangente (la derivada) es siempre cero.

Sustituimos la **Ecuación 2** ($b = -48a$) en la **Ecuación 1** ($16a + b = 4/3$): $$16a + (-48a) = \frac{4}{3}$$ $$-32a = \frac{4}{3}$$ Despejamos $a$: $$a = \frac{4}{3 \cdot (-32)} = \frac{4}{-96} = -\frac{1}{24}$$ Ahora calculamos $b$ usando $b = -48a$: $$b = -48 \left( -\frac{1}{24} \right) = \frac{48}{24} = 2$$ ✅ **Valores obtenidos:** $$\boxed{a = -\frac{1}{24}, \quad b = 2}$$

La función resultante es: $$H(x) = -\frac{1}{24}x^3 + 2x + \frac{2}{3}$$ Podemos verificar que en $x=4$ es un máximo comprobando la segunda derivada: $$H''(x) = 6 \cdot \left(-\frac{1}{24}\right)x = -\frac{1}{4}x$$ $$H''(4) = -\frac{1}{4}(4) = -1 < 0$$ Como la segunda derivada es negativa, confirmamos que en $x=4$ hay un **máximo relativo**. Los valores de los parámetros son: $$\boxed{a = -\frac{1}{24}, \quad b = 2, \quad c = \frac{2}{3}}$$