Probabilidad total y Teorema de Bayes en un instituto

Para resolver este problema, lo primero es definir los sucesos y organizar la información en un diagrama de árbol. Definimos los sucesos según la modalidad de estudio: - $C$: El estudiante pertenece a la modalidad de **Ciencias**. - $H$: El estudiante pertenece a la modalidad de **Humanidades y Ciencias Sociales**. - $A$: El estudiante pertenece a la modalidad de **Arte**. Definimos los sucesos según la nota media: - $S$: El estudiante tiene una nota media **superior a 8**. - $\bar{S}$: El estudiante tiene una nota media **menor o igual a 8**. Del enunciado extraemos las probabilidades: - $P(C) = 0.45$ - $P(H) = 0.35$ - $P(A) = 1 - (0.45 + 0.35) = 0.20$ (ya que el resto son de Arte) Probabilidades condicionadas (notas superiores a 8): - $P(S|C) = 0.10$ - $P(S|H) = 0.20$ - $P(S|A) = 0.25$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de las ramas que salen de un mismo nodo siempre debe ser 1.

**a) Calcule la probabilidad de que un estudiante, elegido al azar, tenga una nota media superior a 8. (0.75 ptos)** Para calcular la probabilidad de que un estudiante tenga una nota superior a 8 ($P(S)$), aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. El suceso $S$ puede ocurrir a través de cualquiera de las tres modalidades: $$P(S) = P(C) \cdot P(S|C) + P(H) \cdot P(S|H) + P(A) \cdot P(S|A)$$ Sustituimos los valores numéricos: $$P(S) = 0.45 \cdot 0.10 + 0.35 \cdot 0.20 + 0.20 \cdot 0.25$$ Realizamos las operaciones: $$P(S) = 0.045 + 0.07 + 0.05$$ $$P(S) = 0.165$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso depende de varios casos excluyentes (en este caso, las modalidades). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(S) = 0.165}$$ (La probabilidad es del **16.5 %**)

**b) Si tenemos un estudiante que tiene una nota media menor o igual a 8, ¿cuál es la probabilidad de que sea Ciencias? (0.75 ptos)** Se nos pide la probabilidad condicionada $P(C|\bar{S})$. Para ello, utilizaremos el **Teorema de Bayes**: $$P(C|\bar{S}) = \frac{P(C \cap \bar{S})}{P(\bar{S})} = \frac{P(C) \cdot P(\bar{S}|C)}{P(\bar{S})}$$ Primero, calculamos los componentes necesarios: 1. **$P(\bar{S})$**: Es el suceso contrario a tener una nota superior a 8. $$P(\bar{S}) = 1 - P(S) = 1 - 0.165 = 0.835$$ 2. **$P(\bar{S}|C)$**: Es la probabilidad de no superar el 8 siendo de Ciencias. $$P(\bar{S}|C) = 1 - P(S|C) = 1 - 0.10 = 0.90$$ Ahora sustituimos en la fórmula de Bayes: $$P(C|\bar{S}) = \frac{0.45 \cdot 0.90}{0.835}$$ $$P(C|\bar{S}) = \frac{0.405}{0.835} \approx 0.4850$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes permite calcular la probabilidad de una 'causa' (modalidad) dado un 'efecto' observado (nota media). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C|\bar{S}) \approx 0.485}$$ (Aproximadamente un **48.5 %**)