Intervalo de confianza para la media y tamaño muestral

**a) Halla un intervalo de confianza para la media poblacional del tiempo medio que tarda los corredores en hacer los 6 kilómetros, con un nivel de confianza del 95 % (1.25 ptos)** Primero, identificamos los datos del enunciado para la variable $X$: "tiempo que tardan los corredores". - La distribución es normal: $X \sim N(\mu, \sigma)$. - Desviación típica poblacional: $\sigma = 10$. - Tamaño de la muestra: $n = 10$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95$. Calculamos la media muestral ($\bar{x}$) sumando los valores obtenidos y dividiendo por el número total de corredores: $$\bar{x} = \frac{15 + 19 + 20 + 22 + 24 + 25 + 27 + 28 + 30 + 32}{10} = \frac{242}{10} = 24.2$$ 💡 **Tip:** La media muestral es el mejor estimador puntual de la media poblacional $\mu$. $$\boxed{\bar{x} = 24.2 \text{ minutos}}$$

Para un nivel de confianza del $95\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente: 1. $1 - \alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05$. 2. Dividimos el error en dos colas: $\alpha/2 = 0.025$. 3. Buscamos en la tabla de la normal estándar $N(0, 1)$ el valor cuya probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.025 = 0.975$$ Mirando en la tabla, el valor que corresponde a $0.975$ es exactamente **$1.96$**. $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.96}$$

La fórmula para el intervalo de confianza de la media es: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \cdot \frac{10}{\sqrt{10}} = 1.96 \cdot \sqrt{10} \approx 1.96 \cdot 3.1623 = 6.198$$ Ahora construimos el intervalo: $$I.C. = (24.2 - 6.198, \; 24.2 + 6.198) = (18.002, \; 30.398)$$ 💡 **Tip:** El intervalo de confianza nos indica que, con una probabilidad del $95\%$, la verdadera media poblacional $\mu$ se encuentra entre estos dos valores. ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (18.00, 30.40) \text{ minutos}}$$

**b) ¿Cuál deberá ser el tamaño mínimo de la muestra para que, con el mismo nivel de confianza, el error máximo admisible sea menor que 1 minuto? (0.75 ptos)** Queremos que el error $E < 1$, manteniendo el nivel de confianza del $95\%$ ($z_{\alpha/2} = 1.96$) y la misma desviación típica ($\sigma = 10$). Planteamos la inecuación usando la fórmula del error: $$z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} < 1$$ Sustituimos los valores: $$1.96 \cdot \frac{10}{\sqrt{n}} < 1 \implies \frac{19.6}{\sqrt{n}} < 1$$ Despejamos $n$: $$19.6 < \sqrt{n} \implies 19.6^2 < n$$ $$384.16 < n$$ Como el tamaño de la muestra $n$ debe ser un número entero, debemos redondear siempre al siguiente número entero superior, aunque el decimal sea pequeño, para garantizar que el error sea **menor** que 1. 💡 **Tip:** Siempre que busques un tamaño muestral "mínimo", si obtienes decimales, redondea hacia arriba. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n \ge 385 \text{ corredores}}$$