Optimización mediante Programación Lineal

**a) Dibuja la región factible (1 pto).** Para representar la región factible, primero convertimos las inecuaciones en ecuaciones de rectas. Buscaremos un par de puntos para cada una para poder dibujarlas: 1. **Recta $r_1$:** $x + 2y = 16$ - Si $x = 0 \implies 2y = 16 \implies y = 8$. Punto $(0, 8)$. - Si $y = 0 \implies x = 16$. Punto $(16, 0)$. 2. **Recta $r_2$:** $5x + 4y = 38$ - Si $x = 2 \implies 10 + 4y = 38 \implies 4y = 28 \implies y = 7$. Punto $(2, 7)$. - Si $x = 6 \implies 30 + 4y = 38 \implies 4y = 8 \implies y = 2$. Punto $(6, 2)$. 3. **Recta $r_3$:** $4y - x = 2$ - Si $x = 2 \implies 4y - 2 = 2 \implies 4y = 4 \implies y = 1$. Punto $(2, 1)$. - Si $y = 2 \implies 4(2) - x = 2 \implies 8 - x = 2 \implies x = 6$. Punto $(6, 2)$. 💡 **Tip:** Para dibujar rectas, lo más sencillo es buscar los puntos de corte con los ejes o valores que den resultados enteros para facilitar la representación.

Para determinar el semiplano solución de cada restricción, tomamos un punto de prueba, por ejemplo el origen $(0,0)$, y comprobamos si cumple la inecuación: - $x + 2y \le 16 \implies 0 + 0 \le 16$ (Verdadero). La región está hacia el lado del origen para $r_1$. - $5x + 4y \ge 38 \implies 0 + 0 \ge 38$ (Falso). La región está en el lado opuesto al origen para $r_2$. - $4y - x \ge 2 \implies 0 - 0 \ge 2$ (Falso). La región está en el lado opuesto al origen para $r_3$. La intersección de estos semiplanos define un triángulo cerrado. $$\boxed{\text{Región factible dibujada en el interactivo}}$$

**b) Determina los vértices de la región factible (0.25 ptos).** Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones formados por las rectas que se cortan: - **Vértice $A$ (Corte de $r_1$ y $r_2$):** $$\begin{cases} x + 2y = 16 \implies x = 16 - 2y \\ 5x + 4y = 38 \end{cases}$$ Sustituyendo: $5(16 - 2y) + 4y = 38 \implies 80 - 10y + 4y = 38 \implies -6y = -42 \implies y = 7$. Si $y=7, x=16-14=2$. Luego $\mathbf{A(2, 7)}$. - **Vértice $B$ (Corte de $r_2$ y $r_3$):** $$\begin{cases} 5x + 4y = 38 \\ 4y - x = 2 \implies x = 4y - 2 \end{cases}$$ Sustituyendo: $5(4y - 2) + 4y = 38 \implies 20y - 10 + 4y = 38 \implies 24y = 48 \implies y = 2$. Si $y=2, x=4(2)-2=6$. Luego $\mathbf{B(6, 2)}$. - **Vértice $C$ (Corte de $r_1$ y $r_3$):** $$\begin{cases} x + 2y = 16 \\ 4y - x = 2 \implies x = 4y - 2 \end{cases}$$ Sustituyendo: $(4y - 2) + 2y = 16 \implies 6y = 18 \implies y = 3$. Si $y=3, x=4(3)-2=10$. Luego $\mathbf{C(10, 3)}$. ✅ **Vértices:** $$\boxed{A(2, 7), \; B(6, 2), \; C(10, 3)}$$

**c) Indica la solución óptima del problema dado y su valor (0.25 ptos).** Para minimizar la función objetivo $F(x, y) = 5x + 3y$, evaluamos el valor de la función en cada uno de los vértices de la región factible: - En $A(2, 7)$: $F(2, 7) = 5(2) + 3(7) = 10 + 21 = 31$. - En $B(6, 2)$: $F(6, 2) = 5(6) + 3(2) = 30 + 6 = 36$. - En $C(10, 3)$: $F(10, 3) = 5(10) + 3(3) = 50 + 9 = 59$. Comparando los valores, el valor mínimo es $31$ y se alcanza en el punto $A(2, 7)$. 💡 **Tip:** El teorema fundamental de la programación lineal nos asegura que, si existe solución óptima, esta se encuentra en uno de los vértices (o en un segmento entre ellos). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Mínimo en } (2, 7) \text{ con valor } 31}$$