Problema de pesas: Sistema de ecuaciones lineales

**a) Plantea un sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántas pesas de cada valor posee el coleccionista. (1.5 ptos)** En primer lugar, debemos identificar las incógnitas del problema. Nos preguntan por el número de pesas de cada tipo, por lo que definimos: - $x$: número de pesas de $200\text{ g}$ - $y$: número de pesas de $100\text{ g}$ - $z$: número de pesas de $50\text{ g}$ 💡 **Tip:** Definir claramente las variables es el paso más importante en los problemas de planteamiento para no confundir cantidades con valores.

Traducimos el enunciado a lenguaje algebraico paso a paso: 1. **Total de pesas:** El coleccionista tiene $40$ pesas en total. $$x + y + z = 40$$ 2. **Relación entre tipos de pesas:** El número de pesas de $50\text{ g}$ ($z$) supera en ocho a la suma de las de $200\text{ g}$ ($x$) y $100\text{ g}$ ($y$). $$z = (x + y) + 8 \implies x + y - z = -8$$ 3. **Peso total:** La suma de los pesos es $3400\text{ g}$. Multiplicamos el número de pesas por su valor individual: $$200x + 100y + 50z = 3400$$ Podemos simplificar la tercera ecuación dividiendo por $50$ para trabajar con números más pequeños: $$4x + 2y + z = 68$$ ✅ **Resultado del planteamiento:** $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 40 \\ x + y - z = -8 \\ 4x + 2y + z = 68 \end{cases}}$$

**b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 ptos)** Utilizaremos el método de reducción o sustitución. Observemos que las dos primeras ecuaciones son muy parecidas: 1) $x + y + z = 40$ 2) $x + y - z = -8$ Si restamos la segunda a la primera: $$(x + y + z) - (x + y - z) = 40 - (-8)$$ $$x - x + y - y + z + z = 40 + 8$$ $$2z = 48 \implies z = \frac{48}{2} = 24$$ 💡 **Tip:** Siempre que veas coeficientes iguales para varias variables en dos ecuaciones, la resta directa suele simplificar mucho el problema. $$\boxed{z = 24}$$

Ahora sustituimos $z = 24$ en las ecuaciones 1 y 3 (simplificada): De la ecuación 1: $$x + y + 24 = 40 \implies x + y = 16$$ De la ecuación 3 simplificada ($4x + 2y + z = 68$): $$4x + 2y + 24 = 68 \implies 4x + 2y = 44 \implies 2x + y = 22$$ Tenemos ahora un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: $$\begin{cases} x + y = 16 \\ 2x + y = 22 \end{cases}$$ Restamos la primera a la segunda: $$(2x + y) - (x + y) = 22 - 16$$ $$x = 6$$ Finalmente, calculamos $y$ usando $x + y = 16$: $$6 + y = 16 \implies y = 10$$

Resumimos los valores obtenidos para dar respuesta al problema: - Número de pesas de $200\text{ g}$: $x = 6$ - Número de pesas de $100\text{ g}$: $y = 10$ - Número de pesas de $50\text{ g}$: $z = 24$ **Comprobación:** - Total: $6 + 10 + 24 = 40$ (Correcto). - Relación: $24$ es igual a $(6 + 10) + 8 = 16 + 8 = 24$ (Correcto). - Peso: $6 \cdot 200 + 10 \cdot 100 + 24 \cdot 50 = 1200 + 1000 + 1200 = 3400\text{ g}$ (Correcto). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{6 \text{ pesas de } 200\text{g}, \; 10 \text{ pesas de } 100\text{g} \text{ y } 24 \text{ pesas de } 50\text{g}}$$