Continuidad y representación de una función cuadrática a trozos

**a) Halla el valor de $t$ para que $f$ sea continua en $x = 1$. (0.5 ptos)** Para que una función sea continua en un punto $x = a$, deben cumplirse tres condiciones: 1. Que exista la imagen de la función en el punto: $f(a)$. 2. Que exista el límite de la función cuando $x \to a$, lo que implica que los límites laterales deben ser iguales: $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)$. 3. Que el valor de la función y el límite coincidan: $f(a) = \lim_{x \to a} f(x)$. En nuestro caso, el punto de estudio es $x = 1$, que es donde la función cambia de rama. 💡 **Tip:** En las funciones a trozos, la continuidad suele estudiarse en los puntos de salto entre intervalos.

Calculamos cada uno de los elementos necesarios en $x = 1$: - **Imagen en el punto:** Usamos la primera rama porque incluye el igual ($x \le 1$): $$f(1) = (1 + 2)^2 = 3^2 = 9.$$ - **Límite por la izquierda:** Usamos la primera rama ($x \to 1^-$): $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x + 2)^2 = (1 + 2)^2 = 9.$$ - **Límite por la derecha:** Usamos la segunda rama ($x \to 1^+$): $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} ((x - 2)^2 + t) = (1 - 2)^2 + t = (-1)^2 + t = 1 + t.$$ Para que exista el límite en $x = 1$, los límites laterales deben ser iguales: $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \implies 9 = 1 + t.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al calcular límites en funciones polinómicas, simplemente sustituimos el valor de $x$.

Resolvemos la ecuación obtenida para hallar el valor de $t$: $$9 = 1 + t \implies t = 9 - 1 \implies t = 8.$$ Si $t = 8$, se cumple que $f(1) = \lim_{x \to 1} f(x) = 9$, por lo que la función es continua en $x = 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{t = 8}$$

**b) Para $t = 0$, representa gráficamente la función $f$. (1 pto)** Sustituimos $t = 0$ en la función original: $$f(x) = \begin{cases} (x + 2)^2 & \text{si } x \le 1 \\ (x - 2)^2 & \text{si } x \gt 1 \end{cases}$$ Ambas ramas son parábolas básicas de la forma $y = (x-a)^2$, que abren hacia arriba: 1. **Rama 1 ($x \le 1$):** $y = (x + 2)^2$. Es una parábola con vértice en **$(-2, 0)$**. Pasa por el punto de corte con el eje $Y$ en $(0, 4)$ y termina en el punto $(1, 9)$. 2. **Rama 2 ($x \gt 1$):** $y = (x - 2)^2$. Es una parábola con vértice en **$(2, 0)$**. Empieza (con un punto abierto) cerca de $(1, 1)$ y continúa hacia el infinito. Como vimos antes, si $t \neq 8$ (en este caso $t = 0$), hay un **salto finito** en $x = 1$, ya que el límite por la izquierda es $9$ y por la derecha es $1$. 💡 **Tip:** Para representar parábolas, localiza siempre el vértice $V(x_v, y_v)$ y un par de puntos auxiliares a cada lado.