Estudio de la recaudación de una película

**a) Cuál es la recaudación en el momento del estreno ($x=0$) y cuál es la recaudación al final ($x=16$). (0.5 ptos)** Para calcular la recaudación en momentos específicos, simplemente debemos sustituir el valor de $x$ en la función original $F(x)$. Para el **estreno ($x=0$):** $$F(0) = \frac{1}{3} (0)^3 - \frac{15}{2} (0)^2 + 36(0) + 150 = 150$$ La recaudación es de $150$ cientos de euros, es decir, **15.000 €**. Para el **final ($x=16$):** $$F(16) = \frac{1}{3} (16)^3 - \frac{15}{2} (16)^2 + 36(16) + 150$$ Calculamos término a término: - $\frac{1}{3} (4096) = \frac{4096}{3} \approx 1365.33$ - $-\frac{15}{2} (256) = -15 \cdot 128 = -1920$ - $36 \cdot 16 = 576$ Sumamos todos los valores: $$F(16) = 1365.33 - 1920 + 576 + 150 = 171.33$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el resultado está en "cientos de euros", debes multiplicar por 100 para obtener la cifra real en euros si el problema lo requiere, aunque basta con indicar el valor de la función. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Estreno: } 150 \text{ cientos de euros; Final: } 171.33 \text{ cientos de euros}}$$

**b) En qué intervalo o intervalos crece esta función y en cuál o cuáles decrece. (0.5 ptos)** Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, calculamos la primera derivada $F'(x)$ y buscamos sus raíces (puntos críticos). Derivamos la función: $$F(x) = \frac{1}{3} x^3 - \frac{15}{2} x^2 + 36 x + 150$$ $$F'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - \frac{15}{2} \cdot 2x + 36 = x^2 - 15x + 36$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$x^2 - 15x + 36 = 0$$ Usamos la fórmula de la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-(-15) \pm \sqrt{(-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1} = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 144}}{2} = \frac{15 \pm \sqrt{81}}{2}$$ $$x = \frac{15 \pm 9}{2} \implies x_1 = \frac{24}{2} = 12, \quad x_2 = \frac{6}{2} = 3$$ 💡 **Tip:** El signo de la derivada nos indica el crecimiento: si $F'(x) \gt 0$ la función crece; si $F'(x) \lt 0$ decrece. $$\boxed{x=3, \quad x=12}$$

Analizamos el signo de $F'(x) = x^2 - 15x + 36$ en los intervalos delimitados por los puntos críticos dentro del dominio $[0, 16]$: $$ \begin{array}{c|ccccc} x & [0, 3) & 3 & (3, 12) & 12 & (12, 16] \\\hline F'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\\hline F(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array} $$ - En $[0, 3)$: Tomamos $x=1 \implies F'(1) = 1 - 15 + 36 = 22 \gt 0$ (**Crece**). - En $(3, 12)$: Tomamos $x=4 \implies F'(4) = 16 - 60 + 36 = -8 \lt 0$ (**Decrece**). - En $(12, 16]$: Tomamos $x=13 \implies F'(13) = 169 - 195 + 36 = 10 \gt 0$ (**Crece**). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Crece en } [0, 3) \cup (12, 16] \text{ y decrece en } (3, 12)}$$

**c) En qué momentos se alcanzan las recaudaciones máxima y mínima respectivamente, y a cuánto ascienden estas recaudaciones. (0.5 ptos)** Debemos comparar los valores de la función en los puntos críticos ($x=3, x=12$) y en los extremos del intervalo ($x=0, x=16$): 1. **En $x=0$:** $F(0) = 150$ 2. **En $x=3$ (Máximo relativo):** $$F(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - \frac{15}{2}(3)^2 + 36(3) + 150 = 9 - 67.5 + 108 + 150 = 199.5$$ 3. **En $x=12$ (Mínimo relativo):** $$F(12) = \frac{1}{3}(12)^3 - \frac{15}{2}(12)^2 + 36(12) + 150 = 576 - 1080 + 432 + 150 = 78$$ 4. **En $x=16$:** $F(16) \approx 171.33$ (calculado en el apartado a). Comparando todos los valores: - El valor más alto es **199.5** en la semana **$x=3$**. - El valor más bajo es **78** en la semana **$x=12$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máxima: semana 3 con 199.5 (19.950 €). Mínima: semana 12 con 78 (7.800 €)}}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "F(x) = \\{0 \\le x \\le 16: \\frac{1}{3}x^3 - 7.5x^2 + 36x + 150\\}", "color": "#2563eb" }, { "id": "max", "latex": "(3, 199.5)", "showLabel": true, "label": "Máximo (3, 199.5)", "color": "#16a34a" }, { "id": "min", "latex": "(12, 78)", "showLabel": true, "label": "Mínimo (12, 78)", "color": "#ef4444" } ], "bounds": { "left": -1, "right": 17, "bottom": 0, "top": 250 } } }