Probabilidad total y Teorema de Bayes: Categorías de empleados

En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema para poder organizar los datos correctamente: * $A$: El empleado pertenece a la categoría A. * $B$: El empleado pertenece a la categoría B. * $T$: El empleado tiene contrato temporal. * $\bar{T}$: El empleado no tiene contrato temporal (contrato indefinido). Del enunciado extraemos las siguientes probabilidades: * $P(A) = 0.80$ (el 80 % de los empleados son de la categoría A). * $P(B) = 1 - 0.80 = 0.20$ (el resto son de la categoría B). * $P(T|A) = 0.10$ (el 10 % de los de la categoría A son temporales). * $P(T|B) = 0.30$ (el 30 % de los de la categoría B son temporales). Representamos esta información mediante un **diagrama de árbol**: 💡 **Tip:** En un diagrama de árbol, las probabilidades de las ramas que salen de un mismo nodo siempre deben sumar 1.

**a) Elegido un empleado al azar de esa empresa, ¿cuál es la probabilidad de que tenga contrato temporal? (0.75 ptos)** Para calcular la probabilidad total de que un empleado sea temporal, sumamos las probabilidades de llegar a ser temporal a través de las dos categorías posibles (A y B). Aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(T) = P(A) \cdot P(T|A) + P(B) \cdot P(T|B)$$ Sustituimos los valores obtenidos del árbol: $$P(T) = (0.80 \cdot 0.10) + (0.20 \cdot 0.30)$$ $$P(T) = 0.08 + 0.06 = 0.14$$ Esto significa que el 14 % de los empleados de la empresa tienen contrato temporal. 💡 **Tip:** El teorema de la probabilidad total se usa cuando queremos hallar la probabilidad de un suceso final que depende de varios caminos o categorías previas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(T) = 0.14}$$

**b) Se escoge un empleado al azar y tiene contrato temporal, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la categoría B? (0.75 ptos)** En este apartado nos dan una información previa: sabemos que el empleado *ya es* temporal. Queremos hallar la probabilidad de que pertenezca a la categoría B dado que es temporal, es decir, $P(B|T)$. Para ello utilizamos el **Teorema de Bayes**: $$P(B|T) = \frac{P(B \cap T)}{P(T)} = \frac{P(B) \cdot P(T|B)}{P(T)}$$ Ya tenemos los datos necesarios de los pasos anteriores: * $P(B \cap T) = 0.20 \cdot 0.30 = 0.06$ * $P(T) = 0.14$ (calculado en el apartado anterior) Sustituimos: $$P(B|T) = \frac{0.06}{0.14}$$ Simplificamos la fracción: $$P(B|T) = \frac{6}{14} = \frac{3}{7} \approx 0.4286$$ 💡 **Tip:** El teorema de Bayes nos permite "volver atrás" en el árbol; conociendo el resultado final (es temporal), calculamos la probabilidad de que proceda de una rama específica (categoría B). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B|T) = \frac{3}{7} \approx 0.4286}$$