Estimación de la media mediante intervalos de confianza

**a) ¿Cuál es el valor de la media muestral?** Primero, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado: - Población: $X \sim N(\mu, \sigma)$ con $\sigma = 1,5$ horas. - Tamaño de la muestra: $n = 256$. - Intervalo de confianza: $IC = [4,29; 4,71]$. En un intervalo de confianza para la media de una distribución normal, la **media muestral $\bar{x}$** es siempre el punto medio del intervalo, ya que este se construye sumando y restando el margen de error $E$ a la media: $IC = [\bar{x} - E, \bar{x} + E]$. Calculamos el punto medio: $$\bar{x} = \frac{4,29 + 4,71}{2} = \frac{9,00}{2} = 4,5$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la media muestral siempre se encuentra exactamente en el centro de cualquier intervalo de confianza para la media poblacional. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\bar{x} = 4,5 \text{ horas}}$$

**b) ¿Cuál es el nivel de confianza del intervalo?** Para hallar el nivel de confianza ($1-\alpha$), primero necesitamos calcular el margen de error ($E$) y, a partir de él, el valor crítico $z_{\alpha/2}$. El margen de error es la mitad de la amplitud del intervalo: $$E = \frac{4,71 - 4,29}{2} = \frac{0,42}{2} = 0,21$$ La fórmula del error es $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Despejamos $z_{\alpha/2}$: $$0,21 = z_{\alpha/2} \cdot \frac{1,5}{\sqrt{256}}$$ $$0,21 = z_{\alpha/2} \cdot \frac{1,5}{16}$$ $$0,21 = z_{\alpha/2} \cdot 0,09375$$ $$z_{\alpha/2} = \frac{0,21}{0,09375} = 2,24$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es el número de desviaciones típicas que debemos alejarnos de la media para cubrir la probabilidad deseada.

Ahora que conocemos $z_{\alpha/2} = 2,24$, buscamos la probabilidad asociada en la tabla de la normal estándar $N(0,1)$: $$p(Z \le 2,24) = 0,9875$$ El nivel de confianza $1-\alpha$ se calcula mediante la relación: $$p(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2}$$ $$0,9875 = 1 - \frac{\alpha}{2} \implies \frac{\alpha}{2} = 1 - 0,9875 = 0,0125$$ Entonces, $\alpha = 0,025$. El nivel de confianza es: $$1 - \alpha = 1 - 0,025 = 0,975$$ Expresado en porcentaje, el nivel de confianza es del **97,5%**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{1 - \alpha = 0,975 \text{ (o } 97,5\% \text{)}}$$

**c) Con los mismos datos, ¿cuál sería el intervalo con un nivel de confianza igual a 0,9?** Si el nivel de confianza es $1-\alpha = 0,9$, entonces: - $\alpha = 0,10$ - $\alpha/2 = 0,05$ - Buscamos $z_{\alpha/2}$ tal que $p(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,05 = 0,95$. Consultando la tabla de la normal $N(0,1)$, el valor 0,95 está exactamente entre $z = 1,64$ y $z = 1,65$. Tomamos la media: $$z_{\alpha/2} = 1,645$$ Calculamos el nuevo margen de error: $$E = 1,645 \cdot \frac{1,5}{\sqrt{256}} = 1,645 \cdot 0,09375 \approx 0,1542$$ El nuevo intervalo de confianza es $[\bar{x} - E, \bar{x} + E]$: $$IC = [4,5 - 0,1542; 4,5 + 0,1542] = [4,3458; 4,6542]$$ 💡 **Tip:** A menor nivel de confianza, el valor crítico $z_{\alpha/2}$ es más pequeño y, por tanto, el intervalo resultante es más estrecho (más preciso pero menos seguro). ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC = [4,3458; 4,6542]}$$