Probabilidad y Estadística 2017 Canarias
Probabilidad de videojuegos por plataforma y género
2. El 30% de los videojuegos que se consumen en España se juegan en PC, el 45% en consola y el resto en el móvil. De los que se juegan en PC, el 50% son de acción, el 40% de estrategia y el resto de otras categorías. De los que se juegan en consola, el 70%, son de acción, el 10% de estrategia y el resto de otras categorías. De los juegos para móvil, un 25% son de acción, otro 25% de estrategia y el resto de otras categorías.
a) Construir el árbol de probabilidades.
b) ¿Qué proporción de los videojuegos consumidos en España son de acción?
c) Se elige al azar un jugador que está jugando a un juego de estrategia ¿cuál es la probabilidad de que lo esté haciendo a través del móvil?
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol
**a) Construir el árbol de probabilidades.**
Primero definimos los sucesos principales según la plataforma:
- $PC$: El videojuego se consume en PC.
- $C$: El videojuego se consume en consola.
- $M$: El videojuego se consume en el móvil.
Calculamos la probabilidad del móvil sabiendo que el total debe sumar el 100%:
$P(M) = 1 - (P(PC) + P(C)) = 1 - (0.30 + 0.45) = 0.25$
Luego definimos los géneros:
- $A$: Videojuego de acción.
- $E$: Videojuego de estrategia.
- $O$: Otras categorías.
Paso 2
Cálculo de la proporción de videojuegos de acción
**b) ¿Qué proporción de los videojuegos consumidos en España son de acción?**
Para calcular la probabilidad total de que un juego sea de acción, sumamos las probabilidades de llegar al suceso $A$ a través de todas las plataformas posibles. Aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(A) = P(PC) \cdot P(A|PC) + P(C) \cdot P(A|C) + P(M) \cdot P(A|M)$$
Sustituimos los valores del árbol:
$$P(A) = (0.30 \cdot 0.50) + (0.45 \cdot 0.70) + (0.25 \cdot 0.25)$$
$$P(A) = 0.15 + 0.315 + 0.0625$$
$$P(A) = 0.5275$$
💡 **Tip:** Recuerda que para calcular la probabilidad total, debes multiplicar las probabilidades a lo largo de cada rama que termine en el suceso deseado y luego sumar esos resultados.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(A) = 0.5275 \text{ (o } 52.75\%\text{)}}$$
Paso 3
Cálculo de probabilidad condicionada (Bayes)
**c) Se elige al azar un jugador que está jugando a un juego de estrategia ¿cuál es la probabilidad de que lo esté haciendo a través del móvil?**
Nos piden la probabilidad de que sea en móvil sabiendo que es de estrategia, es decir, $P(M|E)$. Usaremos el **Teorema de Bayes**:
$$P(M|E) = \frac{P(M \cap E)}{P(E)} = \frac{P(M) \cdot P(E|M)}{P(E)}$$
Primero necesitamos calcular la probabilidad total de los juegos de estrategia, $P(E)$:
$$P(E) = P(PC) \cdot P(E|PC) + P(C) \cdot P(E|C) + P(M) \cdot P(E|M)$$
$$P(E) = (0.30 \cdot 0.40) + (0.45 \cdot 0.10) + (0.25 \cdot 0.25)$$
$$P(E) = 0.12 + 0.045 + 0.0625 = 0.2275$$
Ahora aplicamos Bayes:
$$P(M|E) = \frac{0.25 \cdot 0.25}{0.2275} = \frac{0.0625}{0.2275}$$
Realizamos la división:
$$P(M|E) \approx 0.2747$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se usa cuando queremos calcular la probabilidad de una 'causa' (plataforma) sabiendo el 'efecto' (género).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(M|E) = \frac{0.0625}{0.2275} \approx 0.2747}$$