Estudio de beneficios anuales en función del tiempo

**a) ¿A cuánto asciende la ganancia transcurridos dos años y medio? ¿Y transcurridos cuatro años?** Para calcular las ganancias en momentos específicos, debemos identificar en qué rama de la función definida a trozos se encuentra el valor de $x$: 1. **Para $x = 2.5$ años:** Como $0 \le 2.5 \le 3$, utilizamos la primera rama: $G(x) = \frac{2}{5}x$. $$G(2.5) = \frac{2}{5} \cdot 2.5 = \frac{5}{5} = 1$$ Como la ganancia está en cientos de miles de euros, $1 \cdot 100,000 = 100,000$ €. 2. **Para $x = 4$ años:** Como $4 \gt 3$, utilizamos la segunda rama: $G(x) = \frac{x+3}{x+2}$. $$G(4) = \frac{4+3}{4+2} = \frac{7}{6} \approx 1.1667$$ En euros: $1.1667 \cdot 100,000 \approx 116,666.67$ €. 💡 **Tip:** Antes de sustituir, comprueba siempre en qué intervalo de la función a trozos cae el valor de $x$ solicitado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{A los 2.5 años: } 100,000\text{ €; A los 4 años: } 116,666.67\text{ € aproximadamente.}}$$

**b) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de dichas ganancias. Justificar la respuesta.** Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, calculamos la derivada $G'(x)$ en cada tramo: - **Tramo 1 ($0 \lt x \lt 3$):** $G(x) = \frac{2}{5}x \implies G'(x) = \frac{2}{5}$. Como $G'(x) \gt 0$, la función es **creciente** en el intervalo $(0, 3)$. - **Tramo 2 ($x \gt 3$):** $G(x) = \frac{x+3}{x+2}$. Aplicamos la regla del cociente: $$G'(x) = \frac{1 \cdot (x+2) - (x+3) \cdot 1}{(x+2)^2} = \frac{x+2-x-3}{(x+2)^2} = \frac{-1}{(x+2)^2}$$ Como $(-1)$ es siempre negativo y $(x+2)^2$ es siempre positivo para $x \gt 3$, entonces $G'(x) \lt 0$, por lo que la función es **decreciente** en el intervalo $(3, +\infty)$. **Tabla de signos de $G'(x)$:** $$\begin{array}{c|cc} x & (0,3) & (3, +\infty) \\\hline G'(x) & + & - \\\hline G(x) & \nearrow & \searrow \end{array}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si $f'(x) \gt 0$ la función crece, y si $f'(x) \lt 0$ la función decrece. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Creciente en } (0, 3) \text{ y decreciente en } (3, +\infty)}$$

**c) ¿Qué sucede a medida que transcurre el tiempo? Razonar la respuesta.** Para analizar qué sucede a largo plazo, calculamos el límite de la función cuando el tiempo $x$ tiende a infinito. Para valores grandes de $x$ ($x \gt 3$), usamos la segunda rama: $$\lim_{x \to +\infty} G(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x+3}{x+2}$$ Como es un límite al infinito de un cociente de polinomios del mismo grado, el resultado es el cociente de los coeficientes principales: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x+3}{x+2} = \frac{1}{1} = 1$$ Esto significa que, con el paso de los años, las ganancias de la empresa tienden a estabilizarse en **100,000 euros anuales** (1 unidad de medida). 💡 **Tip:** El comportamiento a largo plazo en problemas de funciones se resuelve siempre calculando el límite cuando $x \to +\infty$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las ganancias tienden a estabilizarse en 100,000 euros anuales.}}$$