Sistema de ecuaciones: Marineros de tres nacionalidades

**a) Plantear el correspondiente sistema.** En primer lugar, definimos las incógnitas que representan el número de marineros de cada nacionalidad: - $x$: número de marineros chinos. - $y$: número de marineros filipinos. - $z$: número de marineros griegos. Traducimos las condiciones del enunciado a ecuaciones matemáticas: 1. El total de marineros es 30: $$x + y + z = 30$$ 2. El número de marineros griegos ($z$) duplica al total de las otras dos nacionalidades ($x + y$): $$z = 2(x + y) \implies 2x + 2y - z = 0$$ 3. Por cada dos chinos ($x$) hay tres filipinos ($y$). Esto establece una proporción $\frac{x}{y} = \frac{2}{3}$: $$3x = 2y \implies 3x - 2y = 0$$ 💡 **Tip:** Al plantear proporciones como "por cada $A$ de tipo $X$ hay $B$ de tipo $Y$", la ecuación se escribe como $B \cdot X = A \cdot Y$. En este caso, $3x = 2y$. El sistema planteado es: $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 30 \\ 2x + 2y - z = 0 \\ 3x - 2y = 0 \end{cases}}$$

**b) ¿Cuántos marineros de cada nacionalidad hay en el barco?** Para resolver el sistema, utilizaremos el método de sustitución, ya que la segunda ecuación nos da una relación directa entre $z$ y las otras variables. De la ecuación $z = 2(x + y)$, sustituimos $z$ en la primera ecuación: $$x + y + (2x + 2y) = 30$$ $$3x + 3y = 30$$ Podemos simplificar esta ecuación dividiendo toda la expresión entre 3: $$x + y = 10$$ Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ($x$ e $y$): $$\begin{cases} x + y = 10 \\ 3x - 2y = 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Siempre que todas las coeficientes de una ecuación sean múltiplos del mismo número, simplifica para facilitar los cálculos posteriores.

Despejamos $y$ de la ecuación simplificada $x + y = 10$: $$y = 10 - x$$ Sustituimos este valor en la ecuación $3x - 2y = 0$: $$3x - 2(10 - x) = 0$$ $$3x - 20 + 2x = 0$$ $$5x = 20$$ $$x = \frac{20}{5} = 4$$ Ahora calculamos $y$ utilizando el valor de $x$: $$y = 10 - 4 = 6$$ Por lo tanto, hay **4 marineros chinos** y **6 marineros filipinos**.

Finalmente, utilizamos los valores de $x$ e $y$ para hallar $z$ en la ecuación original $z = 2(x + y)$: $$z = 2(4 + 6)$$ $$z = 2(10) = 20$$ Comprobamos que la suma total es correcta: $4 + 6 + 20 = 30$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Hay 4 chinos, 6 filipinos y 20 griegos}}$$