Probabilidad: Aproximación de la Binomial por la Normal

**1. Recientes estudios indican que el 35% de las mujeres embarazadas de una región son fumadoras. Se toma una muestra de 100 mujeres embarazadas en esa región. Calcular la probabilidad de que en dicha muestra: a) Haya menos de 40 fumadoras b) Sean más de 25 las mujeres que fuman. c) El número de fumadoras esté entre 32 y 38.** Primero definimos la variable aleatoria $X$: $X = \text{Número de mujeres fumadoras en la muestra de 100.}$ Se trata de una **distribución Binomial** con parámetros: $n = 100$ (tamaño de la muestra) $p = 0.35$ (probabilidad de que una mujer sea fumadora) $q = 1 - p = 0.65$ (probabilidad de que no sea fumadora) Por tanto: $X \sim B(100, \, 0.35)$. Dado que $n$ es grande, comprobamos si podemos aproximarla por una **distribución Normal**: 1. $n \cdot p = 100 \cdot 0.35 = 35 \gt 5$ 2. $n \cdot q = 100 \cdot 0.65 = 65 \gt 5$ Como se cumplen ambas condiciones, podemos aproximar $X$ por una normal $X' \sim N(\mu, \sigma)$: $\mu = n \cdot p = 35$ $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{100 \cdot 0.35 \cdot 0.65} = \sqrt{22.75} \approx 4.77$ Así, trabajaremos con la aproximación $X' \sim N(35, \, 4.77)$. 💡 **Tip:** Al pasar de una binomial (discreta) a una normal (continua), debemos aplicar la **corrección de continuidad de Yates**, sumando o restando $0.5$ a los límites del intervalo.

Queremos calcular $P(X \lt 40)$. En la variable discreta, esto equivale a $P(X \le 39)$. Aplicando la corrección de continuidad de Yates, buscamos: $P(X' \le 39.5)$ Ahora **tipificamos** la variable para poder usar la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula $Z = \frac{X' - \mu}{\sigma}$: $$P\left(Z \le \frac{39.5 - 35}{4.77}\right) = P\left(Z \le \frac{4.5}{4.77}\right) \approx P(Z \le 0.94)$$ Buscamos el valor $0.94$ en la tabla de la $N(0, 1)$: $P(Z \le 0.94) = 0.8264$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \lt 40) = 0.8264}$$

Queremos calcular $P(X \gt 25)$. En la variable discreta, esto equivale a $P(X \ge 26)$. Aplicando la corrección de continuidad de Yates: $P(X' \ge 25.5)$ Tipificamos la variable: $$P\left(Z \ge \frac{25.5 - 35}{4.77}\right) = P\left(Z \ge \frac{-9.5}{4.77}\right) \approx P(Z \ge -1.99)$$ Por simetría de la campana de Gauss, $P(Z \ge -1.99) = P(Z \le 1.99)$. Buscamos $1.99$ en la tabla: $P(Z \le 1.99) = 0.9767$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(Z \gt -a) = P(Z \lt a)$ debido a que la distribución es simétrica respecto al eje $y$ cuando la media es $0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \gt 25) = 0.9767}$$

Queremos calcular $P(32 \le X \le 38)$. Aplicando la corrección de continuidad de Yates, el intervalo se amplía $0.5$ por cada lado: $P(31.5 \le X' \le 38.5)$ Tipificamos ambos valores: $$P\left(\frac{31.5 - 35}{4.77} \le Z \le \frac{38.5 - 35}{4.77}\right) = P(-0.73 \le Z \le 0.73)$$ Calculamos la probabilidad del intervalo como la diferencia de las colas a la izquierda: $P(-0.73 \le Z \le 0.73) = P(Z \le 0.73) - P(Z \le -0.73)$ Como $P(Z \le -0.73) = 1 - P(Z \le 0.73)$, la fórmula queda: $2 \cdot P(Z \le 0.73) - 1$ Buscamos $0.73$ en la tabla: $P(Z \le 0.73) = 0.7673$ Operamos: $2 \cdot 0.7673 - 1 = 1.5346 - 1 = 0.5346$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(32 \le X \le 38) = 0.5346}$$