Estimación de la proporción y tamaño muestral

**a) ¿De qué tamaño debería ser la muestra de clientes si se quiere estimar dicha proporción con un error inferior a 0,08 con un nivel de confianza del 95%?** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para el cálculo del tamaño muestral $n$: - Proporción estimada de la encuesta previa: $p = 15\% = 0,15$. - Por complementario, $q = 1 - p = 1 - 0,15 = 0,85$. - Error máximo admitido: $E \lt 0,08$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,95$ ($95\%$). 💡 **Tip:** Cuando conocemos una estimación previa de la proporción ($p$), la usamos. Si no la conociéramos, usaríamos el caso más desfavorable $p=0,5$ para maximizar el tamaño de la muestra.

Para un nivel de confianza del $95\%$, debemos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad entre $-z_{\alpha/2}$ y $z_{\alpha/2}$ sea $0,95$. 1. Calculamos $\alpha$: $1 - \alpha = 0,95 \implies \alpha = 0,05$. 2. Repartimos el error en las dos colas: $\alpha/2 = 0,025$. 3. Buscamos el valor en la tabla de la normal estándar $N(0,1)$ para una probabilidad acumulada de: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,025 = 0,975.$$ Mirando en la tabla, vemos que para $0,975$, el valor corresponde exactamente a: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1,96}$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes son $1,645$ ($90\%$), $1,96$ ($95\%$) y $2,575$ ($99\%$).

La fórmula para el error en la estimación de una proporción es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{p \cdot q}{n}}$$ Para hallar $n$, despejamos de la fórmula: $$n = \frac{(z_{\alpha/2})^2 \cdot p \cdot q}{E^2}$$ Sustituimos los valores: $$n = \frac{(1,96)^2 \cdot 0,15 \cdot 0,85}{(0,08)^2}$$ $$n = \frac{3,8416 \cdot 0,1275}{0,0064} = \frac{0,489804}{0,0064} \approx 76,53$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **inferior** a $0,08$, debemos redondear siempre al alza. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 77 \text{ clientes}}$$

**b) Finalmente, se ha realizado el estudio con una muestra de 196 clientes, de los cuales 37 manifestaron su conformidad con la propuesta. Calcular un intervalo de confianza, al 92%, para la proporción total de clientes de la compañía que aceptaría dicha propuesta.** En este apartado, los datos han cambiado según el estudio real: - Tamaño de la muestra: $n = 196$. - Casos a favor: $x = 37$. - Proporción muestral: $\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{37}{196} \approx 0,1888$. - Complementario: $\hat{q} = 1 - 0,1888 = 0,8112$. 💡 **Tip:** La proporción muestral $\hat{p}$ es nuestro estimador puntual para la proporción poblacional.

Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ para un nivel de confianza del $92\%$: 1. $1 - \alpha = 0,92 \implies \alpha = 0,08$. 2. $\alpha/2 = 0,04$. 3. Buscamos $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,04 = 0,96$. Buscando en la tabla de la normal estándar $N(0,1)$, el valor más cercano a $0,96$ es $0,9599$, que corresponde a: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1,75}$$ 💡 **Tip:** Si el valor no es exacto, tomamos el más cercano o realizamos una interpolación lineal. Aquí $0,9599$ es suficientemente preciso.

La fórmula del intervalo de confianza para la proporción es: $$IC = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}, \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \right)$$ Primero calculamos el error de estimación ($E$): $$E = 1,75 \cdot \sqrt{\frac{0,1888 \cdot 0,8112}{196}} = 1,75 \cdot \sqrt{\frac{0,153154}{196}}$$ $$E = 1,75 \cdot \sqrt{0,0007814} = 1,75 \cdot 0,02795 \approx 0,0489$$ Ahora calculamos los extremos del intervalo: - Límite inferior: $0,1888 - 0,0489 = 0,1399$ - Límite superior: $0,1888 + 0,0489 = 0,2377$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC = (0,1399, \, 0,2377)}$$ Esto significa que, con un nivel de confianza del $92\%$, la verdadera proporción de clientes que aceptaría la propuesta se encuentra entre el $13,99\%$ y el $23,77\%$.