Cálculo de áreas y costes de reparación

**a) Hacer una gráfica de la zona.** Para representar la zona y calcular el área, primero debemos hallar los puntos donde se cortan la parábola $f(x) = -x^2 + 2x + 4$ y la recta $g(x) = 2x$. Igualamos ambas funciones: $$-x^2 + 2x + 4 = 2x$$ Restamos $2x$ en ambos lados: $$-x^2 + 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm \sqrt{4}$$ Obtenemos los puntos de corte en: $$x_1 = -2, \quad x_2 = 2$$ 💡 **Tip:** Los puntos de corte nos indican los límites de integración para el cálculo del área en el siguiente apartado. Para la gráfica, calculamos también el vértice de la parábola $f(x)$: $$x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2(-1)} = 1$$ $$y_v = f(1) = -(1)^2 + 2(1) + 4 = 5 \implies V(1, 5)$$ $$\boxed{x = -2, \quad x = 2}$$

Representamos la parábola cóncava (hacia abajo) y la recta que pasa por el origen. La zona a reparar es el recinto encerrado entre ambas en el intervalo $[-2, 2]$. Podemos observar que en dicho intervalo, la función $f(x)$ queda por encima de $g(x)$. Por ejemplo, si tomamos $x = 0$: $f(0) = 4$ y $g(0) = 0$, por lo que $f(x) \gt g(x)$.

**b) Hallar la superficie de la zona.** La superficie $S$ se calcula mediante la integral definida de la diferencia de las funciones (la de arriba menos la de abajo) entre los puntos de corte: $$S = \int_{-2}^{2} [f(x) - g(x)] \, dx = \int_{-2}^{2} (-x^2 + 2x + 4 - 2x) \, dx$$ Simplificamos la expresión: $$S = \int_{-2}^{2} (-x^2 + 4) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$F(x) = \int (-x^2 + 4) \, dx = -\frac{x^3}{3} + 4x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$S = \left[ -\frac{x^3}{3} + 4x \right]_{-2}^{2}$$ $$S = \left( -\frac{2^3}{3} + 4(2) \right) - \left( -\frac{(-2)^3}{3} + 4(-2) \right)$$ $$S = \left( -\frac{8}{3} + 8 \right) - \left( \frac{8}{3} - 8 \right) = -\frac{8}{3} + 8 - \frac{8}{3} + 8$$ $$S = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48 - 16}{3} = \frac{32}{3} \, m^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área siempre debe ser positiva. Si obtienes un valor negativo, revisa cuál es la función que está por encima. ✅ **Resultado (Superficie):** $$\boxed{S = \frac{32}{3} \approx 10,67 \, m^2}$$

**c) ¿A cuánto asciende la reparación?** Primero calculamos el precio de la pintura para la superficie hallada: $$P_{\text{pintura}} = \text{Superficie} \times \text{Precio/m}^2$$ $$P_{\text{pintura}} = \frac{32}{3} \, m^2 \times 6,25 \, €/m^2 = \frac{32 \times 6,25}{3} = \frac{200}{3} \approx 66,67 \, €$$ A continuación, calculamos los gastos adicionales (80% del precio de la superficie): $$P_{\text{gastos}} = 0,80 \times P_{\text{pintura}} = 0,80 \times \frac{200}{3} = \frac{160}{3} \approx 53,33 \, €$$ El coste total de la reparación es la suma de ambos conceptos: $$P_{\text{total}} = P_{\text{pintura}} + P_{\text{gastos}} = \frac{200}{3} + \frac{160}{3} = \frac{360}{3} = 120 \, €$$ Otra forma directa es calcular el 180% del precio de la pintura: $$P_{\text{total}} = 1,80 \times \frac{200}{3} = 120 \, €$$ ✅ **Resultado (Coste reparación):** $$\boxed{120 \, €}$$