Optimización de la producción de teléfonos móviles

**a) Plantear el problema que determina el número de móviles de cada calidad que se deben fabricar para maximizar el beneficio.** Primero, definimos las variables de decisión del problema: - $x$: número de teléfonos de **calidad A** a fabricar. - $y$: número de teléfonos de **calidad B** a fabricar. El objetivo es maximizar el beneficio total. Calculamos el beneficio unitario de cada tipo: - Beneficio A: $\text{Precio de venta} - \text{Coste} = 100 - 70 = 30$ € por unidad. - Beneficio B: $\text{Precio de venta} - \text{Coste} = 150 - 90 = 60$ € por unidad. La función objetivo a maximizar es: $$B(x, y) = 30x + 60y$$ 💡 **Tip:** El beneficio siempre es la diferencia entre los ingresos (precio de venta) y los costes de producción.

A continuación, traducimos las limitaciones del enunciado en desigualdades matemáticas (restricciones): 1. **Capital disponible:** El coste total no puede superar los 30.000 €. $$70x + 90y \le 30000$$ 2. **Suministro de pantallas:** Se dispone de un máximo de 350 pantallas para ambos modelos. $$x + y \le 350$$ 3. **Carcasas de aluminio:** Solo las usa el modelo B, y hay un máximo de 310. $$y \le 310$$ 4. **No negatividad:** No se pueden fabricar cantidades negativas. $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ El problema completo queda planteado como: $$\text{Maximizar } B(x, y) = 30x + 60y$$ $$\text{Sujeto a: } \begin{cases} 70x + 90y \le 30000 \\ x + y \le 350 \\ y \le 310 \\ x, y \ge 0 \end{cases}$$ $$\boxed{\text{Problema planteado en el sistema anterior}}$$

**b) Representar la región factible, determinar una solución óptima y hallar el valor óptimo de la función objetivo.** Para representar la región factible, dibujamos las rectas asociadas a las restricciones: - **Recta 1 ($r_1$):** $70x + 90y = 30000$. Si $x=0, y \approx 333.3$. Si $y=0, x \approx 428.6$. - **Recta 2 ($r_2$):** $x + y = 350$. Si $x=0, y=350$. Si $y=0, x=350$. - **Recta 3 ($r_3$):** $y = 310$. Es una recta horizontal. La región factible es el polígono convexo formado por la intersección de los semiplanos definidos por las inecuaciones en el primer cuadrante.

Los vértices de la región factible son los puntos de corte de las rectas que la limitan: 1. **Vértice A (Origen):** $(0, 0)$. 2. **Vértice B (Eje X):** Intersección de $x+y=350$ con $y=0$ $\implies (350, 0)$. *Nota: Comprobamos que cumple $70(350) + 90(0) = 24500 \le 30000$.* 3. **Vértice C:** Intersección de $70x + 90y = 30000$ y $x + y = 350$. Despejamos $x = 350 - y$ y sustituimos en la otra: $70(350 - y) + 90y = 30000 \implies 24500 - 70y + 90y = 30000 \implies 20y = 5500 \implies y = 275$. $x = 350 - 275 = 75$. Luego **$C(75, 275)$**. 4. **Vértice D:** Intersección de $70x + 90y = 30000$ y $y = 310$. $70x + 90(310) = 30000 \implies 70x + 27900 = 30000 \implies 70x = 2100 \implies x = 30$. Luego **$D(30, 310)$**. 5. **Vértice E (Eje Y):** Intersección de $y=310$ con $x=0$ $\implies (0, 310)$. 💡 **Tip:** Siempre verifica que los puntos de corte obtenidos cumplan todas las demás restricciones para asegurar que son vértices de la región factible.

Evaluamos la función beneficio $B(x, y) = 30x + 60y$ en cada uno de los vértices: - $B(0, 0) = 30(0) + 60(0) = 0$ € - $B(350, 0) = 30(350) + 60(0) = 10500$ € - $B(75, 275) = 30(75) + 60(275) = 2250 + 16500 = 18750$ € - $B(30, 310) = 30(30) + 60(310) = 900 + 18600 = 19500$ € - $B(0, 310) = 30(0) + 60(310) = 18600$ € El valor máximo se alcanza en el punto **$(30, 310)$**. La solución óptima consiste en fabricar **30 móviles de calidad A** y **310 móviles de calidad B**, obteniendo un beneficio máximo de **19500 €**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Fabricar 30 de Calidad A y 310 de Calidad B. Beneficio: 19500 €}}$$