Distribución de la proporción muestral y esperanza matemática

**a) Calcular la probabilidad de que, en un fin de semana, la proporción de mujeres accidentadas supere el 23%.** Primero, identificamos los datos del problema para las mujeres: - Proporción poblacional de mujeres: $p = \frac{1}{5} = 0,2$. - Proporción poblacional de hombres: $q = 1 - p = 0,8$. - Tamaño de la muestra (accidentes por fin de semana): $n = 144$. La proporción muestral $\hat{p}$ sigue una distribución normal si se cumplen las condiciones de aproximación ($n \cdot p \ge 5$ y $n \cdot q \ge 5$). Comprobamos: $144 \cdot 0,2 = 28,8 \gt 5$ $144 \cdot 0,8 = 115,2 \gt 5$ La distribución de la proporción muestral es: $$\hat{p} \sim N\left(p, \sqrt{\frac{p \cdot q}{n}}\right)$$ Calculamos la desviación típica de la proporción: $$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{0,2 \cdot 0,8}{144}} = \sqrt{\frac{0,16}{144}} = \frac{0,4}{12} = \frac{1}{30} \approx 0,0333$$ Por tanto: **$\hat{p} \sim N(0,2, \; 0,0333)$** 💡 **Tip:** Recuerda que para muestras grandes ($n \gt 30$), la proporción de la muestra se aproxima a una Normal con media la proporción poblacional y desviación típica $\sqrt{\frac{pq}{n}}$.

Queremos hallar $P(\hat{p} \gt 0,23)$. Para ello, tipificamos la variable a una normal estándar $Z \sim N(0,1)$: $$Z = \frac{\hat{p} - p}{\sigma_{\hat{p}}} = \frac{0,23 - 0,2}{1/30} = \frac{0,03}{0,0333} = 0,03 \cdot 30 = 0,9$$ Ahora calculamos la probabilidad: $$P(\hat{p} \gt 0,23) = P(Z \gt 0,9) = 1 - P(Z \le 0,9)$$ Buscando en la tabla de la distribución Normal $N(0,1)$, el valor para $0,9$ es $0,8159$: $$1 - 0,8159 = 0,1841$$ ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{P(\hat{p} \gt 0,23) = 0,1841}$$ 💡 **Tip:** Cuando buscamos $P(Z \gt a)$, siempre transformamos a $1 - P(Z \le a)$ para poder usar directamente las tablas estándar.

**b) Calcular la probabilidad de que, en un fin de semana, la proporción de hombres accidentados no supere el 84%.** Ahora definimos los parámetros para la proporción de hombres ($\hat{p}_h$): - Proporción poblacional de hombres: $p_h = 1 - \frac{1}{5} = 0,8$. - Complementario: $q_h = 0,2$. - Tamaño de la muestra: $n = 144$. La distribución de la proporción muestral de hombres será: $$\hat{p}_h \sim N\left(p_h, \sqrt{\frac{p_h \cdot q_h}{n}}\right) = N\left(0,8, \sqrt{\frac{0,8 \cdot 0,2}{144}}\right)$$ Como ya calculamos antes, la desviación típica es la misma: $$\sigma_{\hat{p}_h} = \frac{1}{30} \approx 0,0333$$ Por tanto: **$\hat{p}_h \sim N(0,8, \; 0,0333)$**

Buscamos la probabilidad de que la proporción no supere el 84%, es decir, $P(\hat{p}_h \le 0,84)$. Tipificamos: $$Z = \frac{0,84 - 0,8}{1/30} = \frac{0,04}{1/30} = 0,04 \cdot 30 = 1,2$$ Calculamos la probabilidad directa en la tabla: $$P(\hat{p}_h \le 0,84) = P(Z \le 1,2)$$ Buscando en la tabla $N(0,1)$, el valor para $1,2$ es $0,8849$. ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{P(\hat{p}_h \le 0,84) = 0,8849}$$

**c) ¿Cuál es, por término medio, el número esperado de hombres accidentados cada fin de semana?** El número de hombres accidentados $X$ sigue una distribución Binomial $B(n, p_h)$ donde $n = 144$ y $p_h = 0,8$. El número esperado (o esperanza matemática) en una distribución binomial viene dado por la fórmula: $$E[X] = n \cdot p_h$$ Sustituimos los valores: $$E[X] = 144 \cdot 0,8 = 115,2$$ Por término medio, se esperan **115,2 hombres accidentados**. 💡 **Tip:** En problemas de probabilidad, el "número esperado" o "por término medio" siempre se refiere a la esperanza matemática de la distribución. ✅ **Resultado (apartado c):** $$\boxed{E[X] = 115,2 \text{ hombres}}$$