Inferencia estadística: Media muestral y nivel de confianza

**a) ¿Cuál es la media muestral obtenida?** En un intervalo de confianza para la media de una población normal, la media muestral $\bar{x}$ se encuentra exactamente en el punto medio del intervalo. Dados los extremos del intervalo $I = [61,745, \, 68,255]$, calculamos su centro: $$\bar{x} = \frac{61,745 + 68,255}{2}$$ $$\bar{x} = \frac{130}{2} = 65$$ 💡 **Tip:** El intervalo de confianza siempre tiene la forma $[\bar{x} - E, \, ar{x} + E]$, donde $E$ es el error máximo admisible. Por ello, $\bar{x}$ es el promedio de los límites del intervalo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\bar{x} = 65 \text{ años}}$$

**b) ¿Cuál es el nivel de confianza utilizado?** Primero, identificamos los datos conocidos: - Tamaño de la muestra: $n = 100$ - Desviación típica poblacional: $\sigma = 15$ - Intervalo: $[61,745, \, 68,255]$ Calculamos el error máximo ($E$), que es la distancia desde la media muestral a cualquiera de los extremos: $$E = 68,255 - 65 = 3,255$$ La fórmula del error para la media es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores para despejar el valor crítico $z_{\alpha/2}$: $$3,255 = z_{\alpha/2} \cdot \frac{15}{\sqrt{100}}$$ $$3,255 = z_{\alpha/2} \cdot \frac{15}{10} = z_{\alpha/2} \cdot 1,5$$ $$z_{\alpha/2} = \frac{3,255}{1,5} = 2,17$$

Buscamos en la tabla de la distribución normal estándar $N(0,1)$ la probabilidad asociada al valor crítico $z_{\alpha/2} = 2,17$: $$P(Z \le 2,17) = 0,9850$$ Este valor corresponde a $1 - \frac{\alpha}{2}$. Por tanto: $$1 - \frac{\alpha}{2} = 0,9850 \implies \frac{\alpha}{2} = 1 - 0,9850 = 0,015$$ El nivel de confianza es $1 - \alpha$: $$\alpha = 2 \cdot 0,015 = 0,03$$ $$1 - \alpha = 1 - 0,03 = 0,97$$ Multiplicando por 100 obtenemos el porcentaje. 💡 **Tip:** El nivel de confianza $1-\alpha$ es el área central de la campana de Gauss. Si $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0,9850$, el área que queda fuera en las dos colas es $2 \cdot (1 - 0,9850)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Nivel de confianza} = 97\%}$$

**c) Usando la estimación puntual de la media obtenida en el apartado a), ¿cuál es la probabilidad de que la media de edad de 9 usuarios del servicio sea mayor o igual que 66 años?** Consideramos la media poblacional $\mu = 65$ (estimación puntual) y la desviación típica $\sigma = 15$. Al tomar una muestra de tamaño $n = 9$, la distribución de la media muestral $\bar{X}$ sigue una distribución normal: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Calculamos la nueva desviación típica (error estándar): $$\sigma_{\bar{x}} = \frac{15}{\sqrt{9}} = \frac{15}{3} = 5$$ Por tanto, $\bar{X} \sim N(65, 5)$. 💡 **Tip:** Recuerda que la variabilidad de la media de una muestra es menor que la variabilidad individual; por eso dividimos $\sigma$ por $\sqrt{n}$.

Queremos calcular $P(\bar{X} \ge 66)$. Tipificamos la variable para usar la tabla $N(0,1)$: $$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma_{\bar{x}}} = \frac{66 - 65}{5} = \frac{1}{5} = 0,2$$ Calculamos la probabilidad: $$P(\bar{X} \ge 66) = P(Z \ge 0,2)$$ Utilizamos la propiedad del complementario: $$P(Z \ge 0,2) = 1 - P(Z \lt 0,2)$$ Buscamos en la tabla el valor para $0,2$: $$P(Z \lt 0,2) = 0,5793$$ $$P(\bar{X} \ge 66) = 1 - 0,5793 = 0,4207$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{X} \ge 66) = 0,4207}$$