Estudio del deterioro de una máquina de revelado

**a) Comprobar que el número de fotografías por minuto decrece con el paso de los años.** Para comprobar si una función es decreciente, debemos estudiar el signo de su derivada $f'(x)$. Si la derivada es negativa, la función decrece. La función está definida por ramas. Analizamos la primera rama para $0 \le x \lt 6$: $$f_1(x) = -0,5x + 13$$ Derivamos respecto a $x$: $$f_1'(x) = -0,5$$ Como $f_1'(x) = -0,5 \lt 0$ para cualquier valor de $x$ en el intervalo $[0, 6)$, la función es **estrictamente decreciente** en este tramo. 💡 **Tip:** Recuerda que si $f'(x) \lt 0$ en un intervalo, la función es decreciente en dicho intervalo.

Analizamos ahora la segunda rama para $x \gt 6$. La función es un cociente: $$f_2(x) = \frac{5(x+14)}{x+4} = \frac{5x + 70}{x + 4}$$ Aplicamos la regla de la derivada de un cociente $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$f_2'(x) = \frac{5 \cdot (x+4) - (5x+70) \cdot 1}{(x+4)^2}$$ $$f_2'(x) = \frac{5x + 20 - 5x - 70}{(x+4)^2} = \frac{-50}{(x+4)^2}$$ Analizamos el signo de $f_2'(x)$: - El denominador $(x+4)^2$ es siempre positivo para $x \gt 6$. - El numerador $-50$ es siempre negativo. Por tanto, $f_2'(x) \lt 0$ para todo $x \gt 6$, lo que significa que la función también es **estrictamente decreciente** en este tramo. 💡 **Tip:** En una fracción, si el denominador es un cuadrado perfecto, su signo siempre será positivo (excepto donde se anule), por lo que el signo de la derivada lo marcará el numerador.

Para asegurar que la función decrece de forma global, comprobamos si hay un "salto" extraño en el punto de cambio $x = 6$: - $f(6) = \frac{5(6+14)}{6+4} = \frac{100}{10} = 10$ - $\lim_{x \to 6^-} (-0,5x + 13) = -0,5(6) + 13 = -3 + 13 = 10$ Como ambos valores coinciden, la función es continua en $x=6$. Dado que decrece antes de 6 y decrece después de 6 sin saltos, podemos concluir: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0,6) & 6 & (6,+\infty)\\\hline f'(x) & - & \nexists & - \\\hline \text{Monotonía} & \searrow & \text{cont.} & \searrow \end{array}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función es decreciente para todo } x \ge 0}$$

**b) Justificar que a partir de los 6 años revelará menos de 10 fotografías por minuto y que no revelará menos de 5 fotografías por minuto por muy vieja que sea la máquina** Primero, calculamos el valor de la función justo a los 6 años: $$f(6) = \frac{5(6+14)}{6+4} = \frac{100}{10} = 10 \text{ fotos/min}$$ Como hemos demostrado en el apartado anterior que la función es **estrictamente decreciente** para $x \ge 6$, el número de fotografías para cualquier tiempo $x \gt 6$ será siempre menor que el valor en $x=6$. Es decir, si $x \gt 6 \implies f(x) \lt f(6)$, por tanto: $$\boxed{f(x) \lt 10 \text{ para } x \gt 6}$$ 💡 **Tip:** Si una función es continua y estrictamente decreciente a partir de un punto, todos sus valores posteriores serán menores que el valor inicial en ese punto.

Para justificar que no revelará menos de 5 fotografías "por muy vieja que sea", calculamos el comportamiento de la función cuando el tiempo tiende a infinito ($x \to +\infty$): $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{5x + 70}{x + 4}$$ Como es un límite al infinito de un cociente de polinomios del mismo grado, el resultado es el cociente de los coeficientes principales: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{5x + 70}{x + 4} = \frac{5}{1} = 5$$ Esto significa que la función tiene una **asíntota horizontal** en $y = 5$. Al ser decreciente y tender a 5, la función se acercará a 5 fotografías por minuto pero **nunca bajará de ese valor**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{A largo plazo la producción tiende a 5 fotos/min, sin bajar nunca de ese valor.}}$$