Álgebra 2017 Canarias
Sistema de ecuaciones: Presupuesto corporativo
En el presupuesto de una corporación pública, las partidas dedicadas a inversión en proyectos de interés comunitario, gastos de funcionamiento (personal y corrientes) y gastos sociales (acciones culturales, educativas y sociales) suman 125 millones de euros. La inversión en proyectos es el 56,25% del resto de lo presupuestado y, por cada 9 millones dedicados a gastos sociales, hay 11 dedicados a gastos de funcionamiento.
a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones.
b) Resolver el sistema anterior ¿Cuáles son las cantidades asignadas a cada partida?
Paso 1
Definición de variables
**a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones.**
En primer lugar, definimos las incógnitas que representarán las cantidades asignadas a cada partida presupuestaria en millones de euros:
- $x$: Inversión en proyectos de interés comunitario.
- $y$: Gastos de funcionamiento (personal y corrientes).
- $z$: Gastos sociales (acciones culturales, educativas y sociales).
💡 **Tip:** Definir claramente las variables es el primer paso fundamental para no cometer errores al traducir el enunciado a lenguaje algebraico.
Paso 2
Planteamiento de la primera y segunda ecuación
Analizamos la información del enunciado para escribir las ecuaciones:
1. Las tres partidas suman 125 millones:
$$x + y + z = 125$$
2. La inversión ($x$) es el $56,25\%$ del resto ($y + z$):
$$x = 0,5625(y + z)$$
💡 **Tip:** Recuerda que un porcentaje se traduce a decimal dividiendo por 100 ($56,25\% = 0,5625$). Para simplificar cálculos posteriores, podemos observar que $0,5625 = \frac{5625}{10000} = \frac{9}{16}$.
Paso 3
Planteamiento de la tercera ecuación y sistema final
3. Por cada 9 millones de gastos sociales ($z$), hay 11 de funcionamiento ($y$):
Esto indica una proporción: $\frac{y}{11} = \frac{z}{9}$, que al multiplicar en cruz resulta en:
$$9y = 11z \implies 9y - 11z = 0$$
Reuniendo todas las ecuaciones y ordenándolas:
$$\begin{cases} x + y + z = 125 \\ x - 0,5625y - 0,5625z = 0 \\ 9y - 11z = 0 \end{cases}$$
✅ **Resultado (Sistema planteado):**
$$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 125 \\ x - 0,5625(y + z) = 0 \\ 9y - 11z = 0 \end{cases}}$$
Paso 4
Sustitución para hallar la primera variable
**b) Resolver el sistema anterior ¿Cuáles son las cantidades asignadas a cada partida?**
Podemos resolver el sistema por el método de sustitución. De la primera ecuación, sabemos que $(y + z) = 125 - x$. Sustituimos esto en la segunda ecuación:
$$x = 0,5625(125 - x)$$
Operamos:
$$x = 70,3125 - 0,5625x$$
$$x + 0,5625x = 70,3125$$
$$1,5625x = 70,3125$$
$$x = \frac{70,3125}{1,5625} = 45$$
La inversión en proyectos es de **45 millones de euros**.
Paso 5
Resolución del sub-sistema para las otras dos variables
Sabiendo que $x = 45$, volvemos a la suma total para hallar el valor de $y + z$:
$$45 + y + z = 125 \implies y + z = 80$$
Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
$$\begin{cases} y + z = 80 \\ 9y - 11z = 0 \end{cases}$$
Despejamos $y$ de la primera: $y = 80 - z$. Sustituimos en la segunda:
$$9(80 - z) - 11z = 0$$
$$720 - 9z - 11z = 0$$
$$720 = 20z$$
$$z = \frac{720}{20} = 36$$
Finalmente, calculamos $y$:
$$y = 80 - 36 = 44$$
Paso 6
Solución final y comprobación
Las cantidades asignadas a cada partida presupuestaria son:
- **Inversión en proyectos ($x$):** 45 millones de euros.
- **Gastos de funcionamiento ($y$):** 44 millones de euros.
- **Gastos sociales ($z$):** 36 millones de euros.
Comprobamos que se cumplen las condiciones:
- Suma: $45 + 44 + 36 = 125$. (Correcto)
- Relación de inversión: $45 / (44 + 36) = 45 / 80 = 0,5625$. (Correcto)
- Proporción: $44 / 11 = 4$ y $36 / 9 = 4$. (Correcto)
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{\text{Inversión: 45 M€, Funcionamiento: 44 M€, Sociales: 36 M€}}$$