Gasto mensual en agua: Distribución Normal

**a) Probabilidad de que el gasto mensual de una de estas familias sea mayor que 36 euros.** Primero, definimos la variable aleatoria que describe el problema: $X$: Gasto mensual en agua de una familia de 4 miembros (en euros). Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal: $X \sim N(\mu=32, \sigma=10)$. Para calcular probabilidades en una normal, debemos **tipificar** la variable para convertirla en una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$. Queremos hallar $P(X \gt 36)$: $$P(X \gt 36) = P\left(Z \gt \frac{36 - 32}{10}\right) = P(Z \gt 0.4)$$ Como las tablas de la normal estándar nos dan la probabilidad acumulada hacia la izquierda, usamos la propiedad del suceso contrario: $$P(Z \gt 0.4) = 1 - P(Z \le 0.4)$$ Buscamos en la tabla el valor para $Z = 0.4$: $$P(Z \le 0.4) = 0.6554$$ Finalmente: $$1 - 0.6554 = 0.3446$$ 💡 **Tip:** Recuerda que tipificar nos permite usar la tabla estándar. La fórmula es restar la media y dividir por la desviación típica. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \gt 36) = 0.3446}$$

**b) Probabilidad de que el gasto mensual de una de estas familias esté entre 28 y 35 euros.** Buscamos la probabilidad $P(28 \lt X \lt 35)$. Tipificamos ambos valores de la misma forma que en el apartado anterior: Para $x = 28$: $z_1 = \frac{28 - 32}{10} = -0.4$ Para $x = 35$: $z_2 = \frac{35 - 32}{10} = 0.3$ Entonces: $$P(28 \lt X \lt 35) = P(-0.4 \lt Z \lt 0.3)$$ Aplicamos la fórmula de la probabilidad en un intervalo: $$P(-0.4 \lt Z \lt 0.3) = P(Z \lt 0.3) - P(Z \lt -0.4)$$ Como la tabla no contiene valores negativos, usamos la simetría de la campana de Gauss: $P(Z \lt -0.4) = P(Z \gt 0.4) = 1 - P(Z \le 0.4)$. Sustituyendo los valores de la tabla: $P(Z \lt 0.3) = 0.6179$ $P(Z \lt -0.4) = 1 - P(Z \le 0.4) = 1 - 0.6554 = 0.3446$ Realizamos la resta final: $$0.6179 - 0.3446 = 0.2733$$ 💡 **Tip:** Para intervalos $P(a \lt Z \lt b)$, siempre es $P(Z \lt b) - P(Z \lt a)$. Si un valor es negativo, recuerda que $P(Z \lt -z) = 1 - P(Z \lt z)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(28 \lt X \lt 35) = 0.2733}$$

**c) Probabilidad de que el gasto mensual medio de 9 de estas familias no supere los 30 euros.** En este caso, no nos preguntan por una familia individual, sino por la **media de una muestra** de $n=9$ familias. Si la población original es $X \sim N(\mu, \sigma)$, la distribución de la media muestral $\bar{X}$ sigue otra normal: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Calculamos la nueva desviación típica (error estándar): $$\sigma_{\bar{X}} = \frac{10}{\sqrt{9}} = \frac{10}{3} \approx 3.33$$ Por tanto, $\bar{X} \sim N(32, 3.33)$. Queremos hallar $P(\bar{X} \le 30)$. Tipificamos con la nueva desviación: $$P(\bar{X} \le 30) = P\left(Z \le \frac{30 - 32}{10/3}\right) = P\left(Z \le \frac{-2}{3.333}\right) = P(Z \le -0.6)$$ Usamos de nuevo la propiedad de simetría para valores negativos: $$P(Z \le -0.6) = P(Z \ge 0.6) = 1 - P(Z \le 0.6)$$ Buscamos en la tabla $Z = 0.6$: $$P(Z \le 0.6) = 0.7257$$ Calculamos el resultado final: $$1 - 0.7257 = 0.2743$$ 💡 **Tip:** ¡Cuidado! Cuando el problema hable de "media de una muestra" o de un grupo de $n$ individuos, la desviación típica cambia a $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{X} \le 30) = 0.2743}$$