Probabilidad: Procedencia y Compras en Centro Comercial

**a) Dibujar el árbol de probabilidades.** Primero definimos los sucesos según la procedencia de los clientes: - $C$: Proceder del centro de la ciudad. - $P$: Proceder de barrios periféricos. - $T$: Proceder de pueblos cercanos. Sabemos que: - $P(C) = 0.20$ - $P(P) = 0.45$ - $P(T) = 1 - (0.20 + 0.45) = 0.35$ Ahora definimos el comportamiento de compra: - $B$: Realiza compras. - $\bar{B}$: No realiza compras. Las probabilidades condicionadas dadas son: - $P(B|C) = 0.60 \implies P(\bar{B}|C) = 0.40$ - $P(B|P) = 0.75 \implies P(\bar{B}|P) = 0.25$ - $P(B|T) = 0.50 \implies P(\bar{B}|T) = 0.50$ Representamos el árbol de probabilidades:

**b) Si un determinado día visitan el centro comercial 2000 personas, ¿cuál es el número esperado que no realiza compras?** Primero, calculamos la probabilidad total de que una persona no realice compras $P(\bar{B})$ usando el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(\bar{B}) = P(C) \cdot P(\bar{B}|C) + P(P) \cdot P(\bar{B}|P) + P(T) \cdot P(\bar{B}|T)$$ Sustituimos los valores obtenidos del árbol: $$P(\bar{B}) = (0.20 \cdot 0.40) + (0.45 \cdot 0.25) + (0.35 \cdot 0.50)$$ $$P(\bar{B}) = 0.08 + 0.1125 + 0.175 = 0.3675$$ Ahora, para hallar el número esperado de personas entre $N = 2000$ visitantes, multiplicamos el total por la probabilidad: $$E = N \cdot P(\bar{B}) = 2000 \cdot 0.3675 = 735$$ 💡 **Tip:** El valor esperado en una distribución de este tipo se calcula simplemente como $n \cdot p$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{735 \text{ personas no realizarán compras}}$$

**c) De los que entran en una determinada tienda del centro comercial, el 30% realizan compras. ¿Cuál es el porcentaje de los que, entrando y realizando compras en esa tienda, proceden de barrios periféricos?** Este apartado nos pide una probabilidad condicionada: la probabilidad de que alguien proceda de barrios periféricos ($P$) sabiendo que ha realizado una compra en la tienda ($B$). Nos dan un nuevo dato para la tienda: $P(B) = 0.30$. Para hallar $P(P|B)$, aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(P|B) = \frac{P(B|P) \cdot P(P)}{P(B)}$$ Asumimos que las proporciones de procedencia ($P(P)=0.45$) y el comportamiento relativo de compra de cada grupo se mantienen proporcionales a los del centro comercial general. En probabilidad, si no se indica un cambio en el comportamiento por origen, las tasas relativas $P(B|C) : P(B|P) : P(B|T)$ se mantienen. La probabilidad de ser de la periferia y comprar en el centro comercial general era $P(P \cap B) = 0.3375$. La probabilidad total de compra general era $P(B)_{gen} = 1 - 0.3675 = 0.6325$. La proporción de compradores que vienen de la periferia es: $$P(P|B) = \frac{P(P \cap B)_{gen}}{P(B)_{gen}} = \frac{0.3375}{0.6325}$$ Operamos: $$P(P|B) \approx 0.5336$$ Para expresarlo como porcentaje, multiplicamos por 100: $$0.5336 \cdot 100 = 53.36\%$$ 💡 **Tip:** El dato del 30% de compras en la tienda es una información contextual que indica que estamos analizando el subconjunto de compradores de esa tienda. Si las tasas de compra se reducen proporcionalmente para todos los grupos, la probabilidad condicionada de origen no varía respecto a la del centro comercial completo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{53.36\%}$$