Área limitada por una recta y una parábola: Problema de aplicación

Para delimitar la zona y poder representarla gráficamente, primero debemos encontrar los puntos donde se cortan las dos funciones: la recta $f(x) = 3(x-1)$ y la parábola $g(x) = \frac{(x-1)^2}{4}$. Igualamos ambas expresiones: $$3(x-1) = \frac{(x-1)^2}{4}$$ Multiplicamos por 4 para eliminar el denominador: $$12(x-1) = (x-1)^2$$ $$12x - 12 = x^2 - 2x + 1$$ $$x^2 - 14x + 13 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{14 \pm \sqrt{(-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1} = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 52}}{2} = \frac{14 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{14 \pm 12}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: - $x_1 = \frac{14 + 12}{2} = \frac{26}{2} = 13$ - $x_2 = \frac{14 - 12}{2} = \frac{2}{2} = 1$ Los puntos de corte son **$(1, 0)$** y **$(13, 36)$**. 💡 **Tip:** Al resolver $(x-1)^2 = 12(x-1)$, podrías haber simplificado dividiendo por $(x-1)$ asumiendo $x \neq 1$, pero es más seguro desarrollar la ecuación para no perder ninguna raíz.

**a) Hacer una gráfica de la zona.** Para representar la zona, dibujamos: 1. La recta $y = 3x - 3$, que pasa por $(1, 0)$ y $(13, 36)$. 2. La parábola $y = \frac{1}{4}(x-1)^2$, que tiene su vértice en $(1, 0)$. Entre $x=1$ y $x=13$, la recta está por encima de la parábola. ✅ **Gráfica:**

**b) ¿Cuántos metros cuadrados tiene la zona?** El área de la región comprendida entre dos curvas se calcula mediante la integral definida de la función superior menos la inferior entre los puntos de corte: $$A = \int_{1}^{13} \left[ 3(x-1) - \frac{(x-1)^2}{4} \right] dx$$ Para facilitar el cálculo, podemos usar el cambio de variable $u = x-1$, donde $du = dx$. Los límites cambian de $1 \to 0$ y $13 \to 12$: $$A = \int_{0}^{12} \left( 3u - \frac{u^2}{4} \right) du$$ Aplicamos la regla de Barrow: $$A = \left[ \frac{3u^2}{2} - \frac{u^3}{12} \right]_{0}^{12}$$ $$A = \left( \frac{3(12)^2}{2} - \frac{12^3}{12} \right) - (0)$$ $$A = \left( \frac{3 \cdot 144}{2} - 144 \right) = 3 \cdot 72 - 144 = 216 - 144 = 72$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área siempre debe dar un valor positivo. Si te sale negativo, es probable que hayas restado las funciones en el orden inverso. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = 72 \text{ m}^2}$$

**c) Se pretende cubrirla de césped artificial que cuesta 10 euros el metro cuadrado. Si, por razones de instalación, se pierde el 15% de la superficie adquirida, ¿cuánto cuesta la cantidad de césped artificial que hay que comprar?** Llamemos $S$ a la superficie total de césped que debemos comprar. El enunciado dice que se pierde el 15% de lo comprado, es decir, el 85% restante debe ser igual a los 72 m² que necesitamos cubrir: $$S \cdot (1 - 0,15) = 72 \implies 0,85 \cdot S = 72$$ Despejamos $S$: $$S = \frac{72}{0,85} \approx 84,7059 \text{ m}^2$$ Ahora calculamos el coste total multiplicando por el precio por metro cuadrado (10 €/m²): $$\text{Coste} = S \cdot 10 = 84,7059 \cdot 10 = 847,059 \text{ €}$$ Redondeando a dos decimales para la moneda: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Coste} = 847,06 \text{ €}}$$